単体複合体の定義 📂位相データ分析

単体複合体の定義

定義

難しい定義 ¹

$$ \Delta^{k} \in K $$

有限なシンプレックスの集合 $K$ が以下の二つの条件を満たす場合、シンプリシャル・コンプレックス^{simplicial Complex}と言う。

(i): もし $\sigma \in K$ かつ $\tau$ が $\sigma$ のフェイスならば、$\tau \in K$ だ。 $$ \sigma \in K \land \tau \le \sigma \implies \tau \in K $$
(ii): もし $\sigma_{1}, \sigma_{2} \in K$ ならば、$\sigma_{1} \cap \sigma_{2}$ は空集合か$\sigma_{1}$ と $\sigma_{2}$ のフェイスだ。 $$ \sigma_{1} , \sigma_{2} \in K \implies \left( \sigma_{1} \cap \sigma_{2} = \empty \right) \lor \left( \sigma_{1} \cap \sigma_{2} \le \sigma_{1} \land \sigma_{1} \cap \sigma_{2} \le \sigma_{2} \right) $$

$\land$ は論理的に‘そして’を表す論理積記号だ。
$\lor$ は論理的に‘または’を表す論理和記号だ。
シンプレックス $x$ のフェイスとは、$x$ から1点を取り除いて作られるシンプレックスを言う。
シンプレックス $\tau$、$\sigma$ に対して $\tau \le \sigma$ というのは、$\tau$ が $\sigma$ のフェイス^faceであることを意味する。

簡単な定義

シンプレックスを連結した集合であり、すべての連結部分がシンプレックスであるコンプレックスをシンプリシャル・コンプレックスという。

説明

シンプレックスはそれ自体で意味と役割があるが、シンプリシャル・コンプレックスを構成することで、ほぼすべての抽象的な対象の幾何学的特性の近似^{approximation}を得ることができる。² 例えば、以下はイルカの形状のトライアングレーション^{triangulation}、すなわち最大 $2$-シンプレックス(三角形)を集めて作ったシンプリシャル・コンプレックスだ。

簡単な定義によると、集合を連結しているという表現はかなり曖昧であり、多くの文書や講演でこのようにざっくりとした定義を紹介してはそれをすんなりと超えてしまっている。これは、シンプリシャル・コンプレックスの実用的、応用的な面を説明するにあたって、厳密な定義を詳しく追求するよりも、図を1つ見せる方が理解しやすく説明もしやすいからだ。

もちろん、一人で本を開いて勉強する時は、難しい定義を正確に理解する必要がある。シンプリシャル・コンプレックス $K$ はそもそも$k$ 個のアフィン独立な点の凸包であるシンプレックス $\Delta^{k}$ の集合であり、集合の集合であるファミリーであるため、$\sigma_{1} \cap \sigma_{2}$ といった共通集合を考えることができる。

ポリゴン

폴리곤.png

定義によれば、ポリゴンはシンプリシャル・コンプレックスのように見えるが、四角形などが含まれているため、シンプリシャル・コンプレックスではない。