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スケールファミリー 📂数理統計学

スケールファミリー

定義

累積分布関数 FF が全ての xx に対して Fσ(x)=F(x/σ)F_{\sigma} (x) = F \left( x / \sigma \right) を満たすとしよう。

{Fσ:σ>0}\left\{ F_{\sigma} : \sigma > 0 \right\}スケールファミリーという。

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パラメータ σ\sigmaランダムサンプル X1,,XnX_{1} , \cdots , X_{n} が累積分布関数 F1(x)=F(x/1)=F(x)F_{1} (x) = F ( x / 1) = F(x) を持つ場合、ランダムサンプル Z1,,ZnZ_{1} , \cdots , Z_{n} について Xi=σZi X_{i} = \sigma Z_{i} のように表現できる。このサンプルのある統計量X1Xn,,Xn1Xn {{ X_{1} } \over { X_{n} }} , \cdots , {{ X_{n-1} } \over { X_{n} }} だけの関数として表されるならば、それは補助統計量である。理にかなっている。なぜなら、スケールパラメータ σ\sigma が何であれ、そのランダムサンプルの比率は分子・分母で相殺されるからだ。実際、それらの比の結合累積分布関数F(y1,,yn;σ)=Pσ(X1Xny1,,Xn1Xnyn1)=Pσ(σZ1σZny1,,σZn1σZnyn1)=Pσ(Z1Zny1,,Zn1Znyn1) \begin{align*} F \left( y_{1} , \cdots , y_{n} ; \sigma \right) =& P_{\sigma} \left( {{ X_{1} } \over { X_{n} }} \le y_{1} , \cdots , {{ X_{n-1} } \over { X_{n} }} \le y_{n-1} \right) \\ =& P_{\sigma} \left( {{ \sigma Z_{1} } \over { \sigma Z_{n} }} \le y_{1} , \cdots , {{ \sigma Z_{n-1} } \over { \sigma Z_{n} }} \le y_{n-1} \right) \\ =& P_{\sigma} \left( {{ Z_{1} } \over { Z_{n} }} \le y_{1} , \cdots , {{ Z_{n-1} } \over { Z_{n} }} \le y_{n-1} \right) \end{align*} σ\sigma に依存していない。

関連項目


  1. Casella. (2001). Statistical Inference(2nd Edition): p284. ↩︎