📂行列代数

ペロン-フロベニウス定理

定理の要約

補助定義

1. 行列に対してパーミュテーション^permutationを適用するとは、行と列の順序を変更することを意味する。
2. 行列$A$が縮約可能^reducibleであるとは、パーミュテーションを適用した後の$\tilde{A}$が、ある正方行列$B, D$と零行列$O$、行列$C$に関してジョルダンブロック形で表せることを意味する¹。縮約不可能ならば縮約不可^irreducibleという。

$$\tilde{A} = \begin{bmatrix} B & O \\ C & D \end{bmatrix}$$

ペロン

すべての$i,j \in \left\{ 1 , \cdots , n \right\}$に対して、正行列^{positive matrix}$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$は常に次を満たす固有値$\lambda > 0$を持っている。

• (i): $\lambda$は代数的重複度$1$を持っている。
• (ii): $\lambda$に対応する固有ベクトルの成分はすべて正である。
• (iii): 他のすべての固有値$\mu$に対して、$\lambda > \left| \mu \right|$が成り立つ。

言い換えると、$A$のすべての固有値は正であり、代数的重複度が$1$のスペクトル半径$\rho (A)$を持っている。

フロベニウス

すべての$i,j \in \left\{ 1 , \cdots , n \right\}$に対して、縮約不可非負行列^{irreducible Non-negative matrix}$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$は常にペロンの定理で言及された性質をすべて満たす固有値$\lambda > 0$を持っている。

説明

縮約可能行列

すべての正行列は縮約不可($\not\exist O$)であり非負($(A)_{ij} > 0 \ge 0$)であるため、フロベニウスの定理はペロンの定理の一般化である。ペロン-フロベニウスの定理と総称され、量子力学や数理生物学など様々な分野で応用されている。その証明は非常に長く複雑なため、ここでは省く²。

一方、縮約可能行列の行列式に関する次の定理が知られている。

ブロック行列の行列式: 行と列に順列を適用して以下のような形に表すことができる行列を縮約可能行列と呼び、その行列式は$\pm \det B \det D$である。 $$A = \begin{bmatrix} B & O \\ C & D \end{bmatrix}$$

グラフ理論

単純グラフの隣接行列は$0$と$1$のみを成分とする非負行列であり、特に連結グラフである場合、縮約可能行列の定義で言及された$O$のような零行列は存在できないため、ペロン-フロベニウスの定理のすべての条件を満たす。多くの場合、グラフ理論で関心を持つグラフは連結単純グラフであるため、それらの隣接行列がスペクトル半径を持っていることが保証される特徴的なグラフでなければならない。