가우스 과정
📂確率論가우스 과정
定義
確率過程 {Xt} のすべての有限 部分集合 S={Xtk}k=1n⊂{Xt} について、S の要素のすべての線形結合
k=1∑nakXtk,{ak}k=1n⊂R
が多変量正規分布に従う場合、{Xt} はガウス過程Gaussian processと呼ばれる。
説明
非専門家から見ると定義がやや数学的過ぎるかもしれないが、直感的に見ればウィーナープロセスと大きくは異ならない。ただし定義に基づいて厳密に判断すると、ウィーナープロセスはガウス過程であるがその逆は成り立たない。
幾何ブラウン運動は各時点で対数正規分布に従うため、ガウス過程ではない。
応用
ベイズ理論では事前分布そのものとして。機械学習ではランダムデータを生成するなどによく用いられる。例として、[x1,xn] においてガウス過程を作る手段としては次のようにガウスカーネル k=k(u,v) で共分散行列 Σ を作り、多変量正規分布からサンプリングする方法が広く使われている。
k(u,v)=Σ=exp(−21(u−v)2)k(x1,x1)k(x2,x1)⋮k(xn,x1)k(x1,x2)k(x2,x2)⋮k(xn,x2)⋯⋯⋱⋯k(x1,xn)k(x2,xn)⋮k(xn,xn)

次に、ガウス過程をサンプリングするサンプルコードをジュリアで実装したものである。途中で Σ にごく小さく εI を足す理由は、数値的誤差を防ぐためである。
using Distributions, LinearAlgebra, Plots
k(u, v) = exp(-abs2(u - v) / 2)
x = LinRange(-5, 5, 100)
Σ = [k(x[i],x[j],1) for i ∈ 1:100, j ∈ 1:100]
ϵ = 1e-6
Σ += ϵ*I
plot(x, [rand(MvNormal(zeros(100), Σ)) for _ in 1:10],
legend = :none, title = "Gaussian Process", lw = 2, alpha = .5)
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