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伊藤積分 📂確率微分方程式

伊藤積分

ビルドアップ

確率的積分を考える前に、非常に重要な確率過程である初等過程elementary processを定義したい。初等過程は測度論でルベーグ積分を定義するために必要だった単純関数と似た役割を果たす。

a=t0<t1<⋯<tk=b a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{k} = b ナチュラルドメイン [a,b][a,b] で上のような分割を考えてみよう。指示関数 χ\chi およびFtj\mathcal{F}_{t_{j}}-可測関数（確率変数）であるeje_{j} について、次のように表示されるϕ∈m2[a,b]\phi \in m^{2}[a,b] を初等過程という。 ϕ(t,ω):=∑j=0k−1ej(ω)χ[tj,tj+1](t) \phi (t,\omega) := \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \chi_{ \left[ t_{j} , t_{j+1} \right] } (t) この関数を ウィーナー過程 W(t)W(t) で積分するというのは区分求積法のアイデアそのままに、次のように考えることができる。 ∫abϕ(t,ω)dWt(ω)=∑j=0k−1ej(ω)[Wtj+1−Wtj](ω) \int_{a}^{b} \phi (t,\omega) d W_{t} (\omega) = \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \left[ W_{t_{j+1}} - W_{t_{j}} \right] ( \omega ) これにより、次のような確率的積分stochastic Integralを定義する。

定義 1

f∈m2[a,b]f \in m^{2} [a,b] のイット積分Itô Integralを次のように定義する。 ∫abf(t,ω)dWt(ω):=lim⁡n→∞∫abϕn(t,ω)dWt(ω) \int_{a}^{b} f (t,\omega) d W_{t} (\omega) := \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} \phi_{n} (t,\omega) d W_{t} (\omega) ここで、シーケンス {ϕn}n∈N\left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} は次を満たす初等過程のシーケンスである。 lim⁡n→∞E[∫ab(f(t,ω)−ϕn(t,ω))2dt]=0 \lim_{n \to \infty} E \left[ \int_{a}^{b} \left( f (t,\omega) - \phi_{n} (t,\omega) \right)^{2} dt \right] = 0

説明

定義では、{ϕn}n∈N\left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} は条件 E∫[f−ϕn]2dt→0E \int [f-\phi_{n}]^{2} dt \to 0 を満たすなら、具体的にどのように選択されても構わない。

基本性質 2

f,g∈m2[a,b]f, g \in m^{2} [a,b] であり、フィルトレーション {Ft}t≥0\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0} が与えられているとする。

  • [1] 可測性: ∫abfdWt=(∫abfdWt)(ω)\displaystyle \int_{a}^{b} f d W_{t} = \left( \int_{a}^{b} f d W_{t} \right) (\omega) は Fb\mathcal{F}_{b}-可測である。
  • [2] 線形性: 定数 cc に対して ∫ab(cf+g)dWt=∫abcfdWt+∫abgdWt \int_{a}^{b} \left( c f + g \right) d W_{t} = \int_{a}^{b} c f d W_{t} + \int_{a}^{b} g d W_{t}
  • [3] 加法性: a<c<ba < c < b に対して ∫abfdWt=∫acfdWt+∫cbfdWt \int_{a}^{b} f d W_{t} = \int_{a}^{c} f d W_{t} + \int_{c}^{b} f d W_{t}
  • [4] 正規性: ff が ω∈Ω\omega \in \Omega と独立independentであり、言い換えるとff が決定論的deterministicであれば ∫abfdWt∼N(0,∫ab(f)2dt) \int_{a}^{b} f d W_{t} \sim N \left( 0, \int_{a}^{b} \left( f \right)^{2} dt \right)
  • [5] 有界確率変数: ZZ が Fb\mathcal{F}_{b}-可測であれば、Zf∈m2[a,b]Z f \in m^{2}[a,b] が成立し、次が成り立つ。 ∫abZf(t)dWt=Z∫abf(t)dWt \int_{a}^{b} Z f (t) d W_{t} = Z \int_{a}^{b} f (t) d W_{t}
  • [6] 期待値: サブシグマフィールドFa\mathcal{F}_{a}に対して E[∫abfdWt]=E[∫abfdWt∣Fa]=0 E \left[ \int_{a}^{b} f d W_{t} \right] = E \left[ \int_{a}^{b} f d W_{t} | \mathcal{F}_{a} \right] = 0 であり、f,gf,g に対して次が成り立つ。 E(∫abf(t)dWt∫abg(t)dWt)=E(∫abf(t)g(t)dWt) E \left( \int_{a}^{b} f(t) d W_{t} \int_{a}^{b} g(t) d W_{t} \right) = E \left( \int_{a}^{b} f(t) g(t) d W_{t} \right)
  • [7] イット等長等式: E(∣∫abfWt∣2)=E(∫ab∣f∣2Wt) E \left( \left| \int_{a}^{b} f W_{t} \right|^{2} \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f \right|^{2} W_{t} \right) これは条件付き期待値にも同様に適用され、次が成立する。 E(∣∫abfdWt∣2∣Fa)=E(∫ab∣f∣2dWt∣Fa)=∫abE(∣f∣2∣Fa)dWt E \left( \left| \int_{a}^{b} f d W_{t} \right|^{2} | \mathcal{F}_{a} \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f \right|^{2} d W_{t} | \mathcal{F}_{a} \right) = \int_{a}^{b} E \left( \left| f \right|^{2} | \mathcal{F}_{a} \right) d W_{t}
  • [8] f∈m2f \in m^2 であり、{fn}n∈N⊂m2\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset m^{2} とする。もしn→∞n \to \infty のとき E[∫ab(fn−f)2dt]→0 E \left[ \int_{a}^{b} \left( f_{n} - f \right)^{2} dt \right] \to 0 なら、n→∞n \to \infty のときL2\mathcal{L}_{2} 収束と同様にする。 ∫abfnWt→∫abfWt \int_{a}^{b} f_{n} W_{t} \to \int_{a}^{b} f W_{t}
  • Ft\mathcal{F}_{t} がF\mathcal{F} のサブシグマフィールドであることは、両方がΩ\Omega の[シグマフィールド]であり、Ft⊂F\mathcal{F}_{t} \subset \mathcal{F}が適用されることを意味する。
  • ff がFt\mathcal{F}_{t}-可測関数であることは、すべてのボレル集合 B∈B([0,∞))B \in \mathcal{B}([0,\infty)) に対してf−1(B)∈Ftf^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{t}であることを意味する。

  1. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p29. ↩︎

  2. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p118. ↩︎