伊藤積分
ビルドアップ
確率的積分を考える前に、非常に重要な確率過程である初等過程elementary processを定義したい。初等過程は測度論でルベーグ積分を定義するために必要だった単純関数と似た役割を果たす。
$$ a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{k} = b $$ ナチュラルドメイン $[a,b]$ で上のような分割を考えてみよう。指示関数 $\chi$ および$\mathcal{F}_{t_{j}}$-可測関数（確率変数）である$e_{j}$ について、次のように表示される$\phi \in m^{2}[a,b]$ を初等過程という。 $$ \phi (t,\omega) := \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \chi_{ \left[ t_{j} , t_{j+1} \right] } (t) $$ この関数を ウィーナー過程 $W(t)$ で積分するというのは区分求積法のアイデアそのままに、次のように考えることができる。 $$ \int_{a}^{b} \phi (t,\omega) d W_{t} (\omega) = \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \left[ W_{t_{j+1}} - W_{t_{j}} \right] ( \omega ) $$ これにより、次のような確率的積分stochastic Integralを定義する。
定義 1
$f \in m^{2} [a,b]$ のイット積分Itô Integralを次のように定義する。 $$ \int_{a}^{b} f (t,\omega) d W_{t} (\omega) := \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} \phi_{n} (t,\omega) d W_{t} (\omega) $$ ここで、シーケンス $\left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ は次を満たす初等過程のシーケンスである。 $$ \lim_{n \to \infty} E \left[ \int_{a}^{b} \left( f (t,\omega) - \phi_{n} (t,\omega) \right)^{2} dt \right] = 0 $$
説明
定義では、$\left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ は条件 $E \int [f-\phi_{n}]^{2} dt \to 0$ を満たすなら、具体的にどのように選択されても構わない。
基本性質 2
$f, g \in m^{2} [a,b]$ であり、フィルトレーション $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ が与えられているとする。
- [1] 可測性: $\displaystyle \int_{a}^{b} f d W_{t} = \left( \int_{a}^{b} f d W_{t} \right) (\omega)$ は $\mathcal{F}_{b}$-可測である。
- [2] 線形性: 定数 $c$ に対して $$ \int_{a}^{b} \left( c f + g \right) d W_{t} = \int_{a}^{b} c f d W_{t} + \int_{a}^{b} g d W_{t} $$
- [3] 加法性: $a < c < b$ に対して $$ \int_{a}^{b} f d W_{t} = \int_{a}^{c} f d W_{t} + \int_{c}^{b} f d W_{t} $$
- [4] 正規性: $f$ が $\omega \in \Omega$ と独立independentであり、言い換えると$f$ が決定論的deterministicであれば $$ \int_{a}^{b} f d W_{t} \sim N \left( 0, \int_{a}^{b} \left( f \right)^{2} dt \right) $$
- [5] 有界確率変数: $Z$ が $\mathcal{F}_{b}$-可測であれば、$Z f \in m^{2}[a,b]$ が成立し、次が成り立つ。 $$ \int_{a}^{b} Z f (t) d W_{t} = Z \int_{a}^{b} f (t) d W_{t} $$
- [6] 期待値: サブシグマフィールド$\mathcal{F}_{a}$に対して $$ E \left[ \int_{a}^{b} f d W_{t} \right] = E \left[ \int_{a}^{b} f d W_{t} | \mathcal{F}_{a} \right] = 0 $$ であり、$f,g$ に対して次が成り立つ。 $$ E \left( \int_{a}^{b} f(t) d W_{t} \int_{a}^{b} g(t) d W_{t} \right) = E \left( \int_{a}^{b} f(t) g(t) d W_{t} \right) $$
- [7] イット等長等式: $$ E \left( \left| \int_{a}^{b} f W_{t} \right|^{2} \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f \right|^{2} W_{t} \right) $$ これは条件付き期待値にも同様に適用され、次が成立する。 $$ E \left( \left| \int_{a}^{b} f d W_{t} \right|^{2} | \mathcal{F}_{a} \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f \right|^{2} d W_{t} | \mathcal{F}_{a} \right) = \int_{a}^{b} E \left( \left| f \right|^{2} | \mathcal{F}_{a} \right) d W_{t} $$
- [8] $f \in m^2$ であり、$\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset m^{2}$ とする。もし$n \to \infty$ のとき $$ E \left[ \int_{a}^{b} \left( f_{n} - f \right)^{2} dt \right] \to 0 $$ なら、$n \to \infty$ のとき$\mathcal{L}_{2}$ 収束と同様にする。 $$ \int_{a}^{b} f_{n} W_{t} \to \int_{a}^{b} f W_{t} $$
- $\mathcal{F}_{t}$ が$\mathcal{F}$ のサブシグマフィールドであることは、両方が$\Omega$ の[シグマフィールド]であり、$\mathcal{F}_{t} \subset \mathcal{F}$が適用されることを意味する。
- $f$ が$\mathcal{F}_{t}$-可測関数であることは、すべてのボレル集合 $B \in \mathcal{B}([0,\infty))$ に対して$f^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{t}$であることを意味する。