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単純曲面、座標写像 📂幾何学

単純曲面、座標写像

定義1 1

座標 u1u_{1}u2u_{2} を持つ 22次元 ユークリッド空間の部分集合 UR2U \subset \mathbb{R}^{2}開集合だとしよう。すべての pUp \in Uに対して以下を満たす CkC^{k} 単射関数 x:UR3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3} が存在するなら、それを単純曲面simple Surfaceと呼ぶ。

xu1(p)×xu2(p)0 {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{1} }} (p) \times {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{2} }} (p) \ne \mathbf{0}

説明

定義において、開集合 UU22次元空間から選ばれ、それが平らであれ曲がっていれ、重なる部分なしに(単射であるため)33次元空間へマッピングされる。この意味で、単純曲面は 22次元の平らな片を33次元空間で滑らかに接続することと想像できる。この関数としての曲面の定義を幾何学的に理解するのが最善だが、すぐには思い浮かばなくても、時間をかけて慣れること。

曲面をこのように2次元空間から3次元空間への写像として定義する理由は、曲面は局所的に見た時、平面のように扱えるためである。実際地球は球体に近い形だが、私たちは地表を上から見た時、2次元平面のように感じる。UUを世界地図、x(U)\mathbf{x}(U)を地球儀と例えることができる。

一方、定義における数式で与えられた条件は、正則曲線dxdu(p)0\displaystyle {{ d \mathbf{x} } \over { d u }} (p) \ne 0 のような条件を満たさなければならなかった曲線理論と似ている。直感的には、とがったり、奇妙にねじれた部分はすぐに排除するということである。xu1(p)×xu2(p)0\dfrac{ \partial \mathbf{x} }{ \partial u_{1} } (p) \times \dfrac{\partial \mathbf{x} }{ \partial u_{2} } (p) \ne \mathbf{0} を満たすとは、あらゆる方向の偏微分がシンギュラーでない(00ではない)ことを意味し、ある意味で、二つの線形独立した(曲線)軸を見て、その幾何を考える意図を読み取ることができる。

もし単純曲面が具体的な座標とグラフで表されていれば、それはモンジュ・パッチmonge Patchとも呼ばれる。例えば、単純曲面fff(x,y)=x2+y2f(x,y) = x^{2} + y^{2}であれば、そのグラフは {(x,y,x2+y2):(x,y)R2} \left\{ \left( x, y , x^{2} + y^{2} \right) : (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \right\} であり、モンジュ・パッチと呼ぶことができる。

定義2 2

座標 u1u_{1}u2u_{2}を持つ 22次元 ユークリッド空間の部分集合 UR2U \subset \mathbb{R}^{2}開集合だとしよう。写像 x:UR3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}一対一正則なら、x\mathbf{x}座標片coordinate patchと言う。

説明 3

x:UR3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}が正則であるとは、x\mathbf{x}ヤコビ行列ランク22と同じということである。x(u,v)=(x1(u,v),x2(u,v),x3(u,v))\mathbf{x}(u,v) = (x_{1}(u,v), x_{2}(u,v), x_{3}(u,v))とすると、x\mathbf{x}のヤコビ行列は次のようになる。

J=[x1ux1vx2ux2vx3ux3v] J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x_{1}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{1}}{\partial v} \\[1em] \dfrac{\partial x_{2}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{2}}{\partial v} \\[1em] \dfrac{\partial x_{3}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{3}}{\partial v} \end{bmatrix}

この行列のランクが22であるとは、列空間の次元22であるということであり、xu=(x1u,x2u,x3u)\mathbf{x}_{u} = \left( \dfrac{\partial x_{1}}{\partial u}, \dfrac{\partial x_{2}}{\partial u}, \dfrac{\partial x_{3}}{\partial u} \right)xv=(x1v,x2v,x3v)\mathbf{x}_{v} = \left( \dfrac{\partial x_{1}}{\partial v}, \dfrac{\partial x_{2}}{\partial v}, \dfrac{\partial x_{3}}{\partial v} \right)線形独立であることを意味する。したがって、この二つの外積は0\mathbf{0}ではない。

xu×xv0 \mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v} \ne \mathbf{0}

そうすると、上記の二つの定義は同値であることがわかる。


  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p77. ↩︎

  2. Barrett O’Neill, Elementary Differential Geometry (Revised 2nd Edition, 2006), p130-131 ↩︎

  3. Barrett O’Neill, Elementary Differential Geometry (Revised 2nd Edition, 2006), p142 ↩︎