単純曲面、座標写像
定義1 1
座標 $u_{1}$、$u_{2}$ を持つ $2$次元 ユークリッド空間の部分集合 $U \subset \mathbb{R}^{2}$が 開集合だとしよう。すべての $p \in U$に対して以下を満たす $C^{k}$ 単射関数 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$ が存在するなら、それを単純曲面simple Surfaceと呼ぶ。
$$ {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{1} }} (p) \times {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{2} }} (p) \ne \mathbf{0} $$
説明
定義において、開集合 $U$ は $2$次元空間から選ばれ、それが平らであれ曲がっていれ、重なる部分なしに(単射であるため)$3$次元空間へマッピングされる。この意味で、単純曲面は $2$次元の平らな片を$3$次元空間で滑らかに接続することと想像できる。この関数としての曲面の定義を幾何学的に理解するのが最善だが、すぐには思い浮かばなくても、時間をかけて慣れること。
曲面をこのように2次元空間から3次元空間への写像として定義する理由は、曲面は局所的に見た時、平面のように扱えるためである。実際地球は球体に近い形だが、私たちは地表を上から見た時、2次元平面のように感じる。$U$を世界地図、$\mathbf{x}(U)$を地球儀と例えることができる。
一方、定義における数式で与えられた条件は、正則曲線が $\displaystyle {{ d \mathbf{x} } \over { d u }} (p) \ne 0$ のような条件を満たさなければならなかった曲線理論と似ている。直感的には、とがったり、奇妙にねじれた部分はすぐに排除するということである。$\dfrac{ \partial \mathbf{x} }{ \partial u_{1} } (p) \times \dfrac{\partial \mathbf{x} }{ \partial u_{2} } (p) \ne \mathbf{0}$ を満たすとは、あらゆる方向の偏微分がシンギュラーでない($0$ではない)ことを意味し、ある意味で、二つの線形独立した（曲線）軸を見て、その幾何を考える意図を読み取ることができる。
もし単純曲面が具体的な座標とグラフで表されていれば、それはモンジュ・パッチmonge Patchとも呼ばれる。例えば、単純曲面$f$が$f(x,y) = x^{2} + y^{2}$であれば、そのグラフは $$ \left\{ \left( x, y , x^{2} + y^{2} \right) : (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \right\} $$ であり、モンジュ・パッチと呼ぶことができる。
定義2 2
座標 $u_{1}$、$u_{2}$を持つ $2$次元 ユークリッド空間の部分集合 $U \subset \mathbb{R}^{2}$が 開集合だとしよう。写像 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$が一対一で正則なら、$\mathbf{x}$を座標片coordinate patchと言う。
説明 3
$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$が正則であるとは、$\mathbf{x}$のヤコビ行列のランクが$2$と同じということである。$\mathbf{x}(u,v) = (x_{1}(u,v), x_{2}(u,v), x_{3}(u,v))$とすると、$\mathbf{x}$のヤコビ行列は次のようになる。
$$ J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x_{1}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{1}}{\partial v} \\[1em] \dfrac{\partial x_{2}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{2}}{\partial v} \\[1em] \dfrac{\partial x_{3}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{3}}{\partial v} \end{bmatrix} $$
この行列のランクが$2$であるとは、列空間の次元が$2$であるということであり、$\mathbf{x}_{u} = \left( \dfrac{\partial x_{1}}{\partial u}, \dfrac{\partial x_{2}}{\partial u}, \dfrac{\partial x_{3}}{\partial u} \right)$と$\mathbf{x}_{v} = \left( \dfrac{\partial x_{1}}{\partial v}, \dfrac{\partial x_{2}}{\partial v}, \dfrac{\partial x_{3}}{\partial v} \right)$が線形独立であることを意味する。したがって、この二つの外積は$\mathbf{0}$ではない。
$$ \mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v} \ne \mathbf{0} $$
そうすると、上記の二つの定義は同値であることがわかる。