単純曲面、座標写像
📂幾何学 単純曲面、座標写像 定義1 座標 u 1 u_{1} u 1 、u 2 u_{2} u 2 を持つ 2 2 2 次元 ユークリッド空間 の部分集合 U ⊂ R 2 U \subset \mathbb{R}^{2} U ⊂ R 2 が 開集合 だとしよう。すべての p ∈ U p \in U p ∈ U に対して以下を満たす C k C^{k} C k 単射関数 x : U → R 3 \mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3} x : U → R 3 が存在するなら、それを単純曲面 simple Surface と呼ぶ。
∂ x ∂ u 1 ( p ) × ∂ x ∂ u 2 ( p ) ≠ 0
{{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{1} }} (p) \times {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{2} }} (p) \ne \mathbf{0}
∂ u 1 ∂ x ( p ) × ∂ u 2 ∂ x ( p ) = 0
説明 定義において、開集合 U U U は 2 2 2 次元空間から選ばれ、それが平らであれ曲がっていれ、重なる部分なしに(単射であるため)3 3 3 次元空間へマッピングされる。この意味で、単純曲面は 2 2 2 次元の平らな片を3 3 3 次元空間で滑らかに接続することと想像できる。この関数としての曲面の定義を幾何学的に理解するのが最善だが、すぐには思い浮かばなくても、時間をかけて慣れること。
曲面をこのように2次元空間から3次元空間への写像として定義する理由は、曲面は局所的に見た時、平面のように扱える ためである。実際地球は球体に近い形だが、私たちは地表を上から見た時、2次元平面のように感じる。U U U を世界地図、x ( U ) \mathbf{x}(U) x ( U ) を地球儀と例えることができる。
一方、定義における数式で与えられた条件は、正則曲線 が d x d u ( p ) ≠ 0 \displaystyle {{ d \mathbf{x} } \over { d u }} (p) \ne 0 d u d x ( p ) = 0 のような条件を満たさなければならなかった曲線理論と似ている。直感的には、とがったり、奇妙にねじれた部分はすぐに排除するということである。∂ x ∂ u 1 ( p ) × ∂ x ∂ u 2 ( p ) ≠ 0 \dfrac{ \partial \mathbf{x} }{ \partial u_{1} } (p) \times \dfrac{\partial \mathbf{x} }{ \partial u_{2} } (p) \ne \mathbf{0} ∂ u 1 ∂ x ( p ) × ∂ u 2 ∂ x ( p ) = 0 を満たすとは、あらゆる方向の偏微分 がシンギュラーでない(0 0 0 ではない)ことを意味し、ある意味で、二つの線形独立した(曲線)軸を見て、その幾何を考える意図を読み取ることができる。
もし単純曲面が具体的な座標とグラフで表されていれば、それはモンジュ・パッチ monge Patch とも呼ばれる。例えば、単純曲面f f f がf ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y) = x^{2} + y^{2} f ( x , y ) = x 2 + y 2 であれば、そのグラフは
{ ( x , y , x 2 + y 2 ) : ( x , y ) ∈ R 2 }
\left\{ \left( x, y , x^{2} + y^{2} \right) : (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \right\}
{ ( x , y , x 2 + y 2 ) : ( x , y ) ∈ R 2 }
であり、モンジュ・パッチと呼ぶことができる。
定義2 座標 u 1 u_{1} u 1 、u 2 u_{2} u 2 を持つ 2 2 2 次元 ユークリッド空間 の部分集合 U ⊂ R 2 U \subset \mathbb{R}^{2} U ⊂ R 2 が 開集合 だとしよう。写像 x : U → R 3 \mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3} x : U → R 3 が一対一 で正則 なら、x \mathbf{x} x を座標片 coordinate patch と言う。
説明 x : U → R 3 \mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3} x : U → R 3 が正則であるとは、x \mathbf{x} x のヤコビ行列 のランク が2 2 2 と同じということである。x ( u , v ) = ( x 1 ( u , v ) , x 2 ( u , v ) , x 3 ( u , v ) ) \mathbf{x}(u,v) = (x_{1}(u,v), x_{2}(u,v), x_{3}(u,v)) x ( u , v ) = ( x 1 ( u , v ) , x 2 ( u , v ) , x 3 ( u , v )) とすると、x \mathbf{x} x のヤコビ行列は次のようになる。
J = [ ∂ x 1 ∂ u ∂ x 1 ∂ v ∂ x 2 ∂ u ∂ x 2 ∂ v ∂ x 3 ∂ u ∂ x 3 ∂ v ]
J = \begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x_{1}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{1}}{\partial v}
\\[1em] \dfrac{\partial x_{2}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{2}}{\partial v}
\\[1em] \dfrac{\partial x_{3}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{3}}{\partial v}
\end{bmatrix}
J = ∂ u ∂ x 1 ∂ u ∂ x 2 ∂ u ∂ x 3 ∂ v ∂ x 1 ∂ v ∂ x 2 ∂ v ∂ x 3
この行列のランクが2 2 2 であるとは、列空間の次元 が2 2 2 であるということであり、x u = ( ∂ x 1 ∂ u , ∂ x 2 ∂ u , ∂ x 3 ∂ u ) \mathbf{x}_{u} = \left( \dfrac{\partial x_{1}}{\partial u}, \dfrac{\partial x_{2}}{\partial u}, \dfrac{\partial x_{3}}{\partial u} \right) x u = ( ∂ u ∂ x 1 , ∂ u ∂ x 2 , ∂ u ∂ x 3 ) とx v = ( ∂ x 1 ∂ v , ∂ x 2 ∂ v , ∂ x 3 ∂ v ) \mathbf{x}_{v} = \left( \dfrac{\partial x_{1}}{\partial v}, \dfrac{\partial x_{2}}{\partial v}, \dfrac{\partial x_{3}}{\partial v} \right) x v = ( ∂ v ∂ x 1 , ∂ v ∂ x 2 , ∂ v ∂ x 3 ) が線形独立 であることを意味する。したがって、この二つの外積は0 \mathbf{0} 0 ではない。
x u × x v ≠ 0
\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v} \ne \mathbf{0}
x u × x v = 0
そうすると、上記の二つの定義は同値であることがわかる。