曲線の基本定理の証明
定理 1
$a,b$が$0$を含む区間だとしよう。そして、以下が成立するとする。
- (i): $\overline{\kappa}(s) > 0$が$(a,b)$で$C^{1}$である
- (ii): $\overline{\tau}(s)$が$(a,b)$で連続である
- (iii): $\mathbf{x}_{0}$が$\mathbb{R}^{3}$の固定された一点である
- (iV): $\left\{ D,E,F \right\}$が$\mathbb{R}^{3}$の右手系正規直交基底である
すると、パラメータが$\alpha (0)$からの弧の長さであり、次を満たす$C^{3}$正則曲線$\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^{3}$が唯一存在する： $$ \begin{align*} \alpha (0) =& \left( \mathbf{x}_{0} \right) \\ T(0) =& D \\ N(0) =& E \\ B(0) =& F \\ \kappa (s) =& \overline{\kappa} (s) \\ \tau (s) =& \overline{\tau} (s) \end{align*} $$
- $\left\{ T, N, B , \kappa, \tau \right\}$はフレネ-セレの道具だ。
- $C^{1}$は導関数が連続な関数の集合だ。
説明
曲線の基本定理fundamental Theorem of Curveは、$3$次元空間の曲線が曲率と捩率によって特定できるという強力な定理であり、以下の結果が偶然ではないことを示している。
- $\kappa = 0$ならば直線である。
- $\kappa \ne 0 , \tau = 0$ならば平面曲線である。
- $\kappa / \tau$が定数ならば螺旋である。
- $\tau = 0$で$\kappa > 0$が定数ならば円である。
- $\tau \ne 0$が定数で$\kappa > 0$が定数ならば円形螺旋である。
一意性と存在を保証する定理という意味で、基本定理という名前が全く惜しくない。
証明
ピカールの定理: 1階常微分方程式の初期値問題に対して、解が唯一に存在する。
フレネ-セレの公式: $\alpha$が$\kappa (s) \ne 0$である単位スピード曲線であるならば $$ \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*} $$
$$ \mathbf{u}_{j}^{\prime} = \sum_{i=1}^{3} a_{ij} (s) u_{i} \\ \left( a_{ij} \right) = \begin{bmatrix} 0 & \overline{\kappa} & 0 \\ -\overline{\kappa} & 0 & \overline{\tau} \\ 0 & \overline{\tau} & 0 \end{bmatrix} $$
このようなODEシステムを考えると、ピカールの定理により、次を満たす唯一の解$\mathbf{u}_{j}(s)$が存在する。 $$ \begin{align*} \mathbf{u}_{1} (0) =& D \\ \mathbf{u}_{2} (0) =& E \\ \mathbf{u}_{3} (0) =& F \end{align*} $$ これで、解が必要な条件を満たすことを示せばよい。
ステップ 1. $\mathbf{u}_{i}(t)$は正規直交である。
$p_{ij} := \left< \mathbf{u}_{i}, \mathbf{u}_{j} \right>$とすると $$ \begin{align*} p_{ij}^{\prime} =& \left< \mathbf{u}_{i}^{\prime}, \mathbf{u}_{j} \right> + \left< \mathbf{u}_{i}, \mathbf{u}_{j}^{\prime} \right> \\ =& \left< \sum_{k=1}^{3} a_{ki} \mathbf{u}_{k} , \mathbf{u}_{j} \right> + \left< \mathbf{u}_{i}, \sum_{k=1}^{3} a_{kj} \mathbf{u}_{k} \right> \\ =& \sum_{k=1}^{3} a_{ki} p_{kj} + \sum_{k=1}^{3} a_{kj} p_{ik} \end{align*} $$ したがって、$p_{ij}$は、ピカールの定理により、初期値が与えられた微分方程式 $$ p_{ij}^{\prime} = \sum_{k=1}^{3} \left( a_{ki} p_{kj} + a_{kj} p_{ik} \right) $$ の唯一の解であり、$t = 0$ではクロネッカーのデルタ関数$p_{ij} (0) = \delta_{ij}$が適用される。一方で、 $$ \sum_{k=1}^{3} \left( a_{ki} \delta_{kj} + a_{kj} \delta_{} \right) = a_{ji} + a_{ij} = 0 = \delta_{ij}^{\prime} $$ よって、$\delta_{ij} = p_{ij}$自体が与えられた微分方程式の唯一の解として存在する。従って、次を得る。 $$ \left< \mathbf{u}_{i} , \mathbf{u}_{j} \right> = \delta_{ij} $$
ステップ 2. 単位スピード曲線$\alpha$の正則性
$$ \alpha (s) := \mathbf{x}_{0} + \int_{0}^{s} \mathbf{u}_{1} (\sigma) d \sigma $$ $s \in (a,b)$に対して、上記のように$\alpha (s)$を置く。まず一回微分すると、微積分学の基本定理により $$ {{ d \alpha } \over { ds }} = \mathbf{u}_{1} (s) $$ もう一度微分すると、最初に考えた微分方程式に従って $$ {{ d^{2} \alpha } \over { ds^{2} }} = \mathbf{u}_{1}^{\prime} = \overline{\kappa} \mathbf{u}_{2} $$ $\overline{\kappa}$と$\mathbf{u}_{2}$が微分可能であるため、もう一度微分すると $$ {{ d^{3} \alpha } \over { ds^{3} }} = \overline{\kappa}^{\prime} \mathbf{u}_{2} + \overline{\kappa} \mathbf{u}_{2}^{\prime} = \overline{\kappa}^{\prime} \mathbf{u}_{2} + \overline{\kappa} \left( -\overline{\kappa} \mathbf{u}_{1} + \overline{\tau} \mathbf{u}_{3} \right) $$ $\overline{\kappa}$と$\overline{\tau}$が連続であり、$\mathbf{u}_{i}$が微分可能であるため連続であるから、${{ d^{3} \alpha } \over { ds^{3} }}$も連続であり、したがって$\alpha$は$C^{3}$である。ステップ1ですでに $$ \left| {{ d \alpha } \over { ds }} \right| = \left| \mathbf{u}_{1} \right| = 1 $$ を見たので、$\alpha$は単位スピード曲線である。
ステップ 3. $\overline{\kappa} = \kappa, \overline{\tau} = \tau, \mathbf{u}_{1} = T, \mathbf{u}_{2} = N, \mathbf{u}_{3} = B$
$\alpha^{\prime} = \mathbf{u}_{1}$であるから、当然$\mathbf{u}_{1} = T$である。フレネ-セレの公式によって $$ \kappa N = T^{\prime} = \mathbf{u}_{1}^{\prime} = \overline{\kappa} \mathbf{u}_{2} $$ である。$N$と$\mathbf{u}_{2}$が単位ベクトルであり、$\overline{\kappa} > 0$であるから、$\overline{\kappa} = \kappa$でなければならず、従って$N = \mathbf{u}_{2}$である。$\left\{ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right\}$は$\mathbb{R}^{3}$の正規直交基底であるため、$\left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right] = \pm 1$であり、$s = 0$で $$ \left[ D, E, F \right] = \left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right] = \pm 1 $$ スカラー三重積$\left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right]$は連続2であるから、事実上、常に
$$ \left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right] = 1 $$ でなければならず、従って $$ B = T \times N = \mathbf{u}_{1} \times \mathbf{u}_{2} = \mathbf{u}_{3} $$ である。最後に、もう一度フレネ-セレの公式によって $$ -\tau N = B^{\prime} = \mathbf{u}_{3}^{\prime} = - \overline{\tau} \mathbf{u}_{2} $$ であるから、$N = \mathbf{u}_{2}$を得る。
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