勾配の回転は常にゼロです
公式
スカラー関数 $T$の勾配のカールは常に $\mathbf{0}$である
$$ \nabla \times (\nabla T) = \mathbf{0} $$
証明
直交座標系での$T$の勾配は次のようになる。
$$ \nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\hat{\mathbf{ x}} +\frac{\partial T}{\partial y}\hat{\mathbf{y}} +\frac{\partial T}{\partial z}\hat{\mathbf{z}} $$
$\nabla T$のカールを求めれば次のようになる。
$$ \begin{align*} \nabla \times (\nabla T) &= \begin{vmatrix} \displaystyle \hat{\mathbf{x}} &\hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial }{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial }{\partial z} \\ \displaystyle \frac{\partial T}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial T}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial T}{\partial z} \end{vmatrix} \\ &= \left( \frac{\partial^2 T}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^2 T}{\partial z \partial y} \right) \hat {\mathbf{x}} + \left( \frac{\partial ^2 T}{\partial x \partial z}-\frac{\partial ^2 T}{\partial z \partial x} \right) \hat {\mathbf{y}} + \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x \partial y} -\frac{\partial^2 T}{\partial y \partial x} \right) \hat {\mathbf{z}} \\ &= \mathbf{0} \end{align*} $$
結果は$T$に関わらず全ての成分が$0$なので、勾配の回転は常に$\mathbf{0}$である。
■