📂幾何学

3次元ユークリッド空間における曲線が平面内に位置する同値条件

定理 ¹

単位スピード曲線$\kappa \ne 0$に対して、以下の3つは等価である。

• (a): $\alpha$は平面にある。
• (b): $B$は定数である。
• (c): $\tau = 0$が成り立つ。

説明

これはフレネ-セレ式の帰結として、捩れがなぜ$\tau := \left< B^{\prime}, N \right>$のように奇妙に定義されたのかを理解することができる。

証明

フレネ-セレの公式：$\alpha$が$\kappa (s) \ne 0$の単位スピード曲線である場合、 $$\begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*}$$

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パート1. $(b) \implies (c)$

$B$が定数なので、$B^{\prime} = \mathbf{0}$であり、フレネ-セレ公式により、$\tau = - \left< B^{\prime} , N \right> = \mathbf{0}$。

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パート2. $(c) \implies (b)$

$\tau = \mathbf{0}$であれば、フレネ-セレの公式により、$B^{\prime} = -\tau N = \mathbf{0}$。

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パート3. $(a) \implies (b)$

便宜上、$\alpha$が$xy$平面上にあり、$\alpha (s) = \left( x(s) , y(s) , 0 \right)$のように表されるとする。 $$T = \alpha^{\prime} (s) = \left( x^{\prime} , y^{\prime}, 0 \right) \\ N = {{ T^{\prime}(s) } \over { \kappa (s) }} = {{ 1 } \over { \kappa }} \left( x^{\prime \prime} , y^{\prime \prime} , 0 \right)$$ なので、 $$B = T \times N = {{ 1 } \over { \kappa }} \begin{bmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ x^{\prime} & y^{\prime} & 0 \\ x^{\prime \prime} & y^{\prime \prime} & 0 \end{bmatrix} = {{ 1 } \over { \kappa }} ( 0, 0, \kappa ) = (0 , 0, \pm 1)$$ つまり、$B$は定数である。これは$xy$平面で示されたものだが、基底を変えることで全ての平面に一般化できる。ここで、$\kappa = \left| x^{\prime} y^{\prime \prime} - x^{\prime \prime} y^{\prime} \right|$は計算によって得られる²。

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パート4. $(b) \implies (a)$

ある$v \in \mathbb{R}^{3}$に対して、次が成り立つことを示せば十分である。 $$\left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , v \right> = 0$$ $v = B$に対して、 $$\left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B \right>^{\prime} = \left< \alpha^{\prime}(s) , B \right> + \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B^{\prime} \right> \\ = \left< T , B \right> + \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , 0 \right> \\ = 0 + 0$$ したがって、$\left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B \right>$は全ての$s \in I$に対して変わらず、具体的には$s = s_{0}$とすると、 $$\left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B \right> = 0$$

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