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天井関数と床関数

定義 ¹

天井関数^ceil $\lceil \cdot \rceil : \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$ と 床関数^floor $\lceil \cdot \rceil : \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$ は、次のように定義される。 $$ \lceil x \rceil := \min \left\{ n \in \mathbb{Z} : x \le n \right\} \\ \lfloor x \rfloor := \max \left\{ n \in \mathbb{Z} : n \le x \right\} $$

説明

国内では、床関数 $\lfloor \cdot \rfloor$ はいわゆる ガウス関数 $[ \cdot ]$ としても広く知られている。10進数で見たときの桁数を切り捨てることに該当するため直感的であり、そのために使われることが多いけど、天井関数を使うことはあまりない。

解析的整数論では、ディリクレ積に対するアイデンティティを定義する際にも使われる。

コード

科学計算に強みを示すプログラミング言語のほとんどでは、天井関数は ceil()、床関数は floor()で実装されている。TeXでは通常左右の区別を\left、\rightとするが、天井と床は次のように特別に書く。

	左	右
天井	\lceil	\rceil
床	\lfloor	\rfloor