📂動力学

種間伝播モデル：3つの集団間の病気の伝播

概要

種間障壁^{species Barrier}とは、病原体がもとの宿主から他の種に感染するのが難しい現象を言う。この種間障壁を超えて病気が感染することを種間伝染^{cross-species Transmission}と呼んでおり、これを数学的にモデリングしたホスト-ベクター-ホストモデル^{host-vector-host model}を紹介する。

モデル ¹

$$\begin{align*} \\ {{d I_{1}} \over {d t}} =& \beta_{12} I_{2} S_{1} - \gamma I_{1} \\ {{d I_{2}} \over {d t}} =& \left( \beta_{21} I_{1} + \beta_{23} I_{3} \right) S_{2} - \gamma I_{2} \\ {{d I_{3}} \over {d t}} =& \beta_{32} I_{2} S_{3} - \gamma I_{3} \end{align*}$$ ただし、$k=1,2,3$に対して$S_{k} + I_{k} = 1$である。

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• $S_{k}$に対する微分方程式はわざと書かなかったが、本来は明示的に全部書くべきである。

変数

• $S_{k}(t)$: $t$時点で病気にかかることができる^susceptible$k$番目の集団の比率を表す。
• $I_{k}(t)$: $t$時点で病気を伝染させることができる^infectious$k$番目の集団の比率を表す。情報の広がりの文脈では、Informedの頭文字を取ることもある。

パラメータ

• $\beta_{ij}>0$: $i$集団に対する$j$集団の感染率^{infection rate}である。
• $\gamma_{k}>0$: $k$集団の回復率^{recovery rate}である。

説明

基本的にSISモデルを使っているが、何でもかんでもだが、重要なのは全体の人口を二つの集団$k=1,2,3$に分けたということだ。インデックス$1,3$を宿主^hostと見たとき、二つの集団は直接的に病気を伝え合うわけではないが、インデックス$2$の中間宿主^vectorを通じて伝染病を共有している。

2021年にもまだ議論があるCOVID-19は、コウモリから始まり、チョウゾウカブトを通じて人間に伝播されたと見られており²、$I_{1}$がそのウイルスを持っていたコウモリならば、$I_{2}$はチョウゾウカブトであり、最初の$I_{3}$はそれを薬や高級食材として楽しんでいた武漢の中国人だったろう。

種間伝染の話ではないが、状態の区画だけでなく、複数の種レベルの区画設定はより多くの可能性を開く。同じ種内でも、空間的な特性（例えば国レベルでの）を反映させるとか、年齢/生活パターンの違いによる接触量が異なることを仮定して感染率に差をつけるという方法も考えられる。