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波動関数の相対位相の重要性 📂量子力学

波動関数の相対位相の重要性

説明

波動関数はしばしば次のように複素指数関数で表される。

ψ=Reiθ \psi = R e^{\i\theta}

このとき、式で物理的に意味があるのはψ\psiではなく、∣ψ∣2=R2\left| \psi \right|^{2} = R^{2}であるため、位相θ\thetaの値は重要ではなく、変更しても構わない。

ただし、波動関数を他の二つの波動関数の和で表す場合は話が違う。この場合、各関数の位相を勝手に変えてはいけない。波動関数ψ\psiが次のように二つの波動関数ψ1\psi_{1}とψ2\psi_{2}の和で表されるとしよう。

ψ1=R1eiθ1,ψ2=R2eiθ2ψ=ψ1+ψ2 \psi_{1} = R_{1}e^{\i\theta_{1}}, \qquad \psi_2=R_{2}e^{\i\theta_2} \\ \psi = \psi_{1} + \psi_2

∣ψ∣2=ψ∗ψ=(ψ1∗+ψ2∗)(ψ1+ψ2)=∣ψ1∣2+∣ψ2∣2+ψ1∗ψ2+ψ2∗ψ1=R12+R22+R1R2ei(θ2−θ1)+R1R2ei(θ1−θ2)=R12+R22+R1R2[ei(θ2−θ1)+ei(θ1−θ2)]=R12+R22+2R1R2cos⁡(θ1−θ2) \begin{align} \left| \psi \right|^{2} = \psi^{\ast}\psi &= (\psi_{1}^{\ast}+\psi_2^{\ast})(\psi_{1}+\psi_2) \nonumber \\ &= | \psi_{1}|^{2} +|\psi_2|^{2}+ \psi_{1}^{\ast}\psi_2+\psi_2^{\ast}\psi_{1} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2}+{R_{2}}^{2}+R_{1}R_{2}e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+R_{1}R_{2}e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2}+{R_{2}}^{2}+R_{1}R_{2} \color{blue}{\left[ e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \right]} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2} + {R_{2}}^{2} +2R_{1}R_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_2) \end{align}

(1)(1)を見ると、式にθ1−θ2\theta_{1} - \theta_{2}が含まれているので、各波動関数の位相を変えることはできないことがわかる。青い部分の解釈は次の通り。オイラーの公式によってeiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaなので

 ei(θ2−θ1)+ei(θ1−θ2)=cos⁡(θ2−θ1)+isin⁡(θ2−θ1)+cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2)=[cos⁡(θ2−θ1)+cos⁡(θ1−θ2)]+[isin⁡(θ2−θ1)+isin⁡(θ1−θ2)]=2cos⁡(θ1−θ2) \begin{align*} &\quad\ e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \\ &= \cos (\theta_2-\theta_{1})+\i\sin (\theta_2-\theta_{1})+\cos (\theta_{1}-\theta_2)+\i\sin (\theta_{1}-\theta_2) \\ &= [ \cos (\theta_2-\theta_{1})+\cos (\theta_{1}-\theta_2)]+[\i\sin (\theta_2-\theta_{1})+\i\sin (\theta_{1}-\theta_2)] \\ &= 2\cos(\theta_{1}-\theta_2) \end{align*}