📂動力学

ランチェスターの法則

法則

第一法則

近代戦または近接戦闘では、戦闘力は部隊の規模に比例する。

第二法則

現代戦または遠距離戦闘では、戦闘力は部隊の規模の二乗に比例する。

説明

ランチェスターの法則^{lanchester’s Laws}は、二つのグループの戦闘における損害の数に関する法則で、第一法則（線形の法則）と第二法則（二乗の法則）で述べられる。

• 線形の法則: 銃器が普及する前の戦争は、槍と盾がぶつかり合う肉弾戦だった。前列と後列があり、前列が戦っている間、多くの後列は射程が届かないため、戦闘力を発揮できない状況が多い。そのため、どちらか一方が実際にはより多くの兵力を持っていても、戦闘に参加できないならば、その瞬間その場所では二つの勢力の力が同じだと考えることができる。従って、兵力の少ない側は戦争の様相が線形の法則に従うように誘導することが有利となる。

• 二乗の法則: 遠距離戦闘では攻撃が空間的な制約から比較的自由となる。これをもう少し極端に仮定すると、両方の部隊の全員が同時に攻撃しているとみなすことができる。そのため、兵力の数が多い側は、戦争の様相が二乗の法則に従うように誘導することが有利となる。

ランチェスターの法則を解釈する際の注意点は、これらの声明が歴史の中の戦闘を正確に描写するためのものではないということだ。正確には、指揮部から戦闘を当該部隊に有利に導く戦略を出せなかった場合、相手が望む法則に従うことになる。

多くの機動戦術や古代の陣形は、規模での優位を実際の戦闘力発揮に導くためのものである。東西を問わず、優位に立つ側は劣勢に立つ敵を包囲殲滅したいと望む。各兵士の戦闘力を同じレベルで仮定すると、周囲から多数が一人を取り囲むことで、前線であっても一対多の状況を作る方がはるかに有利である。戦闘に参加する兵力が増えるにつれて、戦闘の様相はランチェスターの二乗の法則に近づく。

逆に、防衛戦を行う立場では、相手よりも規模で劣るため、地形や城壁など、利用できるあらゆるものを動員してランチェスターの線形の法則に従うようにしなければならない。後ろを任せず、最小限の消耗率で持ち堪えるならば、遠征に出た攻撃者は補給のために急ぐしかなくなる。

これらの説明を数学と人口動態学の観点から解剖してみよう。

モデル

第一法則

$$ \begin{align*} A ' =& - \beta \\ B ' =& - \alpha \end{align*} $$

第二法則¹

$$ \begin{align*} A ' =& - \alpha B \\ B ' =& - \beta A \end{align*} $$

変数

• $A(t)$: $t$の時点での集団$A$の個体数を示す。
• $B(t)$: $t$の時点での集団$B$の個体数を示す。

パラメータ

• $\alpha>0$: 集団$A$に対する$B$の攻撃係数である。
• $\beta>0$: 集団$B$に対する$A$の攻撃係数である。

導出

一般性を失わず、戦闘開始前の部隊の規模（初期値）は$A_{0} > B_{0} > 0$から始まり、便宜上$\alpha = \beta = c = 1$とする。両方の兵士個々人の戦闘力がすべて同じならば、微分方程式は$A_{0} > B_{0}$であるため、$A$が負けることはない。両グループが相手が完全に全滅するまで戦うと仮定すると、$t \to \infty$時、$B(t) = 0$である。今、$\displaystyle a := \lim_{t \to \infty} A(t)$を計算することにより、ランチェスターの法則を導出しようとする。

第一法則の導出

戦闘に参加する人数が一定レベルで維持されるならば、損害も同様に一定となるため、次のように定数項を加えてモデル化する。 $$ \begin{align*} { { d A } \over { d t } } =& - \alpha = -1 \\ { { d B } \over { d t } } =& - \beta = -1 \end{align*} $$ これを$- d t$に関して整理すると $$ - d t = d A = d B $$ 戦闘開始$t = 0$から戦闘終了$t = \infty$までを積分すると $$ \int_{0}^{\infty} -1 dt = \int_{A_{0}}^{a} dA = \int_{B_{0}}^{0} dB $$ ここで、左辺は$a$を知る上で全く必要がないので気にする必要はない。中央の項と右辺のみで定積分を計算すると $$ a - A_{0} = 0 - B_{0} $$ $A$に関して整理すると $$ a = A_{0} - B_{0} $$ つまり、戦闘力は単純に部隊の規模にのみ比例する。

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第二法則の導出

戦闘にすべての兵士が参加すると仮定すると、攻撃力は規模に攻撃係数を掛けた形で現れ、次のように一次項を加えてモデル化する。 $$ \begin{align*} { { d A } \over { d t } } =& - \alpha B = -B \\ { { d B } \over { d t } } =& - \beta A = -A \end{align*} $$ 式を$A(t),B(t)$に関して整理すると $$ { { 1 } \over { - B(t) } } dA(t) = { { 1 } \over { - A(t) } } dB(t) $$ 両辺に$-AB$を掛けると $$ A(t) dA(t) = B(t) dB(t) $$ 戦闘開始$t = 0$から戦闘終了$t = \infty$まで積分すると $$ \int_{A_{0}}^{a} A dA = \int_{B_{0}}^{0} B dB $$ 定積分を計算すると $$ {{ a^{2} - A_{0}^{2} } \over { 2 }} = {{ 0 - B_{0}^{2} } \over { 2 }} $$ $a^{2}$に関して整理すると $$ a^{2} = A_{0}^{2} - B_{0}^{2} $$ つまり、戦闘力は部隊の規模の二乗に比例する。

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例示

イ・ヨンホ（ランダムザーグ）とキム・テギョン（プロトス）の試合中の場面で、7分59秒から（開始時間が設定されているため、再生すればすぐに見られる）、たった3体のゼロットが12匹のゼルグリングと戦い、2体のゼロットが死んで8匹のゼルグリングを殺した。通常、ユニット一体の性能ではゼルグリングよりゼロットの方が強いため、$\alpha>\beta$のように、力が非対称的な状況と見ることができるが、資源的には両方ともミネラル$300$に相当する状況だ。これは戦闘自体には重要な点ではないので無視しよう。

動画では、ゼロットはミネラルの後ろに配置されており、地形的な利点を得ている。ゼルグリングは数が多いにも関わらず、スペースが足りずに実際の戦闘に参加できない様子を見せている。これに対して、ゼロットは4匹以上のゼルグリングと対峙することなく、ロスなしで攻撃している。これは、開けた場所での直接対決を避け、ランチェスターの線形の法則の様相をとっていると見られる。