logo

多変量t分布 📂確率分布論

多変量t分布

定義

位置ベクトルμRp\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^{p}正の定符号を持つスケール行列ΣRp×p\Sigma \in \mathbb{R}^{p \times p}に対して、次の確率密度関数を持つ多変量分布tp(ν;μ,Σ)t_{p} \left(\nu; \mu , \Sigma \right)多変量t分布multivariate t-distributionと呼ぶ。

f(x)=Γ[(ν+p)/2]Γ(ν/2)νpπpdetΣ[1+1ν(xμ)TΣ1(xμ)],xRp f (\textbf{x}) = {{ \Gamma \left[ (\nu + p) / 2 \right] } \over { \Gamma ( \nu / 2) \sqrt{ \nu^{p} \pi^{p} \det \Sigma } }} \left[ 1 + {{ 1 } \over { \nu }} \left( \textbf{x} - \mathbf{\mu} \right)^{T} \Sigma^{-1} \left( \textbf{x} - \mathbf{\mu} \right) \right] \qquad , \textbf{x} \in \mathbb{R}^{p}

説明

  • p=1p = 1であり、それからμR1\mu \in \mathbb{R}^{1}であり、ΣR1×1\Sigma \in \mathbb{R}^{1 \times 1}のとき、上記の確率密度関数は自由度ν\nuの一変量t分布の確率密度関数と正確になる。
  • ν=1\nu = 1のときt分布がコーシー分布になったように、多変量t分布も同様に多変量コーシー分布となる。