エルミート多項式のロドリゲス公式
公式
エルミート多項式の明示的explicit 公式は次の通り。
物理学者のエルミート多項式
$$ H_{n} = (-1)^{n} e^{x^2} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{-x^2} \tag{1} $$
確率論者のエルミート多項式
$$ H_{e_{n}} = (-1)^{n} e^{{x^2} \over {2}} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{- {{x^2} \over {2}}} $$
導出
以下の微分方程式の
$$ y_{n}^{\prime \prime} - x^{2}y_{n} = -(2n+1)y_{n} \tag{2} $$
解をエルミート関数といい、次のようになる。
$$ y_{n} = e^{\frac{x^{2}}{2}}D^{n}e^{-x^{2}} $$
ここで $D = \dfrac{d}{dx}$ は 微分演算子 だ。エルミート関数とエルミート多項式は次の等式を満たす。
$$ y_{n} = (-1^{n})e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}(x) $$
$y_{n}$の導関数を計算すると次の通り。
$$ \begin{align*} y_{n}^{\prime} &= (-1^{n})(-xe^{-\frac{x^{2}}{2}})H_{n}(x) + (-1^{n})e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}^{\prime}(x) \\ y_{n}^{\prime \prime} &= (-1^{n})\left[ (-e^{-\frac{x^{2}}{2}})H_{n}(x) + x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}(x) + (-xe^{-\frac{x^{2}}{2}})H_{n}^{\prime}(x)\right] \\ &\quad +(-1^{n})\left[ (-xe^{-\frac{x^{2}}{2}})H_{n}^{\prime}(x) + (-1^{n})e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}^{\prime \prime}(x) \right] \end{align*} $$
この結果を$(2)$に代入すると次のようになる。
$$ \left[ e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}^{\prime \prime}(x) - 2xe^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}^{\prime}(x) + (x^{2}-1)e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}(x) \right] - x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}(x) + (2n + 1)e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}(x) = 0 $$
整理すると、次の等式が得られる。
$$ H_{n}^{\prime \prime}(x) - 2xH_{n}^{\prime}(x) + 2nH_{n}(x) = 0 $$
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