📂関数

エルミート多項式のロドリゲスの公式

公式

エルミート多項式の明示的^explicit 公式は次の通り。

物理学者のエルミート多項式

$$H_{n} = (-1)^{n} e^{x^2} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{-x^2} \tag{1}$$

確率論者のエルミート多項式

$$H_{e_{n}} = (-1)^{n} e^{{x^2} \over {2}} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{- {{x^2} \over {2}}}$$

導出

以下の微分方程式の

$$y_{n}^{\prime \prime} - x^{2}y_{n} = -(2n+1)y_{n} \tag{2}$$

解をエルミート関数といい、次のようになる。

$$y_{n} = e^{\frac{x^{2}}{2}}D^{n}e^{-x^{2}}$$

ここで $D = \dfrac{d}{dx}$ は 微分演算子 だ。エルミート関数とエルミート多項式は次の等式を満たす。

$$y_{n} = (-1^{n})e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}(x)$$

$y_{n}$の導関数を計算すると次の通り。

$$\begin{align*} y_{n}^{\prime} &= (-1^{n})(-xe^{-\frac{x^{2}}{2}})H_{n}(x) + (-1^{n})e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}^{\prime}(x) \\ y_{n}^{\prime \prime} &= (-1^{n})\left[ (-e^{-\frac{x^{2}}{2}})H_{n}(x) + x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}(x) + (-xe^{-\frac{x^{2}}{2}})H_{n}^{\prime}(x)\right] \\ &\quad +(-1^{n})\left[ (-xe^{-\frac{x^{2}}{2}})H_{n}^{\prime}(x) + (-1^{n})e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}^{\prime \prime}(x) \right] \end{align*}$$

この結果を$(2)$に代入すると次のようになる。

$$\left[ e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}^{\prime \prime}(x) - 2xe^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}^{\prime}(x) + (x^{2}-1)e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}(x) \right] - x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}(x) + (2n + 1)e^{-\frac{x^{2}}{2}}H_{n}(x) = 0$$

整理すると、次の等式が得られる。

$$H_{n}^{\prime \prime}(x) - 2xH_{n}^{\prime}(x) + 2nH_{n}(x) = 0$$

■