スチューデントのt分布の極限分布としての標準正規分布の導出
📂確率分布論スチューデントのt分布の極限分布としての標準正規分布の導出
定理
Tn∼t(n) ならば
Tn →DN(0,1)
- N(μ,σ2) は平均が μ で分散が σ2 の正規分布だ。
- t(r) は自由度 r のt-分布だ。
- →D はそれぞれ分布収束を意味する。
もともと学生のt-分布は、サンプルサイズが小さい時に統計的分析をするために生まれた。サンプルサイズが大きくなると、標準正規分布と似てくるが、統計学的な用語では分布収束すると言う。だから、特別な過程がなくても、ただサンプルが多ければ標準正規分布が導かれる。
導出
t-分布の定義: 自由度 ν>0 に対する次のような確率密度関数をもつ連続確率分布 t(ν) をt-分布と言う。
f(x)=νπΓ(2ν)Γ(2ν+1)(1+νx2)−2ν+1,x∈R
標準正規分布の定義: 次のような確率密度関数をもつ正規分布 N(0,12) を標準正規分布と言う。
f(z)=2π1exp[−2z2]
Fn(t)=∫−∞tπnΓ(n/2)Γ((n+1)/2)(1+y2/n)(n+1)/21dy
Tn の累積分布関数は上記の通りである。Fn の連続性により
n→∞limFn(t)=n→∞lim∫−∞tfn(y)dy=∫−∞tn→∞limfn(y)dy
Γ(1/2)=π なので ∣fn(y)∣≤2f1(y)=π11+y22 であり、アークタンジェント関数の微分法によると
n→∞lim∫−∞tfn(y)dy<∫−∞t2f1(y)dy=π2tan−1t<∞
今、n→∞limfn(y) が具体的にどこに収束するかを示せばいい。まず、fn を次のように分けてみよう。
fn(y)===πnΓ(n/2)Γ((n+1)/2)(1+y2/n)(n+1)/21n/2Γ(n/2)Γ((n+1)/2)⋅2π(1+y2/n)(n+1)/21n/2Γ(n/2)Γ((n+1)/2)⋅(1+y2/n)1/21⋅2π1(1+ny2)−n/2
スターリング近似:
n→∞limenlnn−n2πnn!=1
最初の因子の極限から求めよう。
スターリング近似により、十分に大きな n∈N に対して
Γ(n)≈enlnn−n2πn=(en)n2πn
とすると、十分に大きな n に対して
n/2Γ(n/2)Γ((n+1)/2)≈≈≈n2⋅(2en)2n2πn(2en+1)2n+12π(n+1)n22en+1(nn+1)n/2nn+1e1(1+n1)n/2
なので
n→∞limn/2Γ(n/2)Γ((n+1)/2)=1
で、二番目の因子は
n→∞lim(1+y2/n)1/21=1
で、三番目の因子は
n→∞lim2π1(1+ny2)−n/2=2π1e−y2/2
だ。すなわち、
Fn(t)=∫−∞t2π1e−y2/2dy
したがって、Tn は標準正規分布に従う確率変数に分布収束する。
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