等比数列の極限
정리
等比数列 $\left\{ r^{n} \right\}$は $-1 \lt r \le 1$のとき収束し、その値は次の通りである。
$$ \lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = \begin{cases} 0 & \text{if } -1 \lt r \lt 1 \\ 1 & \text{if } r = 1 \end{cases} $$
証明
$r = 1$
$r = 1$ならば、
$$ \lim\limits_{n \to \infty} 1^{n} = \lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1 $$
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$-1 \lt r \lt 1$
$-1 \lt r \lt 1$ならば、$| r^{n} | > | r^{n+1} |$なので、すべての$\epsilon > 0$に対して次を満たす$N$が存在する。
$$ n \ge N \implies | r^{n} - 0 | \lt \epsilon $$
したがって数列の極限の定義によって$\lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = 0$である。
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