等比数列 {rn}\left\{ r^{n} \right\}{rn}は −1<r≤1-1 \lt r \le 1−1<r≤1のとき収束し、その値は次の通りである。
limn→∞rn={0if −1<r<11if r=1 \lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = \begin{cases} 0 & \text{if } -1 \lt r \lt 1 \\ 1 & \text{if } r = 1 \end{cases} n→∞limrn={01if −1<r<1if r=1
r=1r = 1r=1ならば、
limn→∞1n=limn→∞1=1 \lim\limits_{n \to \infty} 1^{n} = \lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1 n→∞lim1n=n→∞lim1=1
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−1<r<1-1 \lt r \lt 1−1<r<1ならば、∣rn∣>∣rn+1∣| r^{n} | > | r^{n+1} |∣rn∣>∣rn+1∣なので、すべてのϵ>0\epsilon > 0ϵ>0に対して次を満たすNNNが存在する。
n≥N ⟹ ∣rn−0∣<ϵ n \ge N \implies | r^{n} - 0 | \lt \epsilon n≥N⟹∣rn−0∣<ϵ
したがって数列の極限の定義によってlimn→∞rn=0\lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = 0n→∞limrn=0である。
