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解析接続 📂複素解析

解析接続

定義 1

解析関数 f1:R1Cf_{1}: \mathscr{R}_{1} \to \mathbb{C} について、 S:=R1R2f1(z)=f2(z),zS \mathscr{S} := \mathscr{R}_{1} \cap \mathscr{R}_{2} \ne \emptyset \\ f_{1} (z) = f_{2} (z) \qquad , z \in \mathscr{S} を満たしつつ、R2C\mathscr{R}_{2} \subset \mathbb{C} で解析関数 f2:R2Cf_{2}: \mathscr{R}_{2} \to \mathbb{C} が存在する場合、f2f_{2}R2\mathscr{R}_{2}f1f_{1} での解析的接続analytic Continuationと呼ばれる。

説明

この文章は非常に難しく書かれているが、定義をよく読むと、特定の複素領域 S\mathscr{S} で、f2f_{2}f1f_{1} を完全に代替できる解析関数であるだけのことで、多くの場合、R1R2\mathscr{R}_{1} \subset \mathscr{R}_{2} を考えるため解析的拡張とも呼ばれる。

実数で定義された関数が複素平面で一般化されることは、R1=R\mathscr{R}_{1} = \mathbb{R} で我々がもともと知っていた関数 fRf_{\mathbb{R}} をよく一般化して、R2=C\mathscr{R}_{2} = \mathbb{C} で定義された fCf_{\mathbb{C}} を見つけることと同じだ。もっとも直接的な例は、指数関数 exp()\exp ( \cdot )ガンマ関数 Γ()\Gamma ( \cdot )リーマンゼータ関数 ζ()\zeta (\cdot) などがある。


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p361. ↩︎