📂複素解析

解析接続

定義 ¹

解析関数 $f_{1}: \mathscr{R}_{1} \to \mathbb{C}$ について、 $$ \mathscr{S} := \mathscr{R}_{1} \cap \mathscr{R}_{2} \ne \emptyset \\ f_{1} (z) = f_{2} (z) \qquad , z \in \mathscr{S} $$ を満たしつつ、$\mathscr{R}_{2} \subset \mathbb{C}$ で解析関数 $f_{2}: \mathscr{R}_{2} \to \mathbb{C}$ が存在する場合、$f_{2}$ は $\mathscr{R}_{2}$ の $f_{1}$ での解析的接続^{analytic Continuation}と呼ばれる。

説明

この文章は非常に難しく書かれているが、定義をよく読むと、特定の複素領域 $\mathscr{S}$ で、$f_{2}$ が $f_{1}$ を完全に代替できる解析関数であるだけのことで、多くの場合、$\mathscr{R}_{1} \subset \mathscr{R}_{2}$ を考えるため解析的拡張とも呼ばれる。

実数で定義された関数が複素平面で一般化されることは、$\mathscr{R}_{1} = \mathbb{R}$ で我々がもともと知っていた関数 $f_{\mathbb{R}}$ をよく一般化して、$\mathscr{R}_{2} = \mathbb{C}$ で定義された $f_{\mathbb{C}}$ を見つけることと同じだ。もっとも直接的な例は、指数関数 $\exp ( \cdot )$ や ガンマ関数 $\Gamma ( \cdot )$、リーマンゼータ関数 $\zeta (\cdot)$ などがある。