セントラルB-スプライン
定義1
$m\in \mathbb{N}$に関して、中心B-スプライン $B_{m}$を次のように定義する。
$$ B_{m}(x):= T_{-\frac{m}{2}}N_{m}(x)=N_{m}(x+{\textstyle \frac{1}{2}}) $$
ここで、$T$は$L^{2}$空間のトランスレーションである。
説明
次のように定義することもできる。
$$ B_{1}:= \chi_{[-1/2,1/2]},\quad B_{m+1}:=B_{m}*B_{1},\ m\in\mathbb{N} $$
二つの定義は実際には同じ関数を意味している。ここでのキーポイントは$B_{m}$を偶関数になるように定義したことである。B-スプラインでは、次の式が成り立つことが簡単にわかる。
$$ B_{m+1}(x)=\int _{-\infty} ^{\infty} B_{m}(x-t)B_{1}(t)dt=\int_{-{\textstyle \frac{1}{2}}}^{{\textstyle \frac{1}{2}}}B_{m}(x-t)dt $$
中心B-スプラインは、B-スプラインを平行移動したものに過ぎないので、B-スプラインの性質をそのまま持っている。
性質
(a) $\mathrm{supp} B_{m}=[-\frac{m}{2},\frac{m}{2}]$
(b) $\displaystyle \int _{-\infty} ^{\infty} B_{m}(x)dx=1$
(c) $m\ge 2$に対して、
$$ \sum \limits_{k\in \mathbb{Z}}B_{m}(x-k)=1,\quad \forall x\in R $$
(c’) $m=1$の時、上記の式は$x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ \pm\frac{1}{2},\pm \frac{3}{2},\dots \right\}$に対して成立する。
(d) 中心B-スプラインのフーリエ変換は次のようである。
$$ \widehat{B_{m}}(\gamma)=\left( \frac{e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m}=\left( \frac{\sin (\pi\gamma)}{\pi \gamma} \right)^{m} $$
ここで、$f$のフーリエ変換 $\widehat{f}$の定義は次の通りである。
$$ \widehat{f}(\gamma):=\int _{-\infty} ^{\infty} f(x)e^{-2\pi i x\gamma}dx $$
証明
(a)
$\mathrm{supp}N_{m}=\left[ -\frac{m}{2}, \frac{m}{2} \right]$であり、$B_{m}=T_{- \frac{m}{2}}N_{m}$であるため、
$$ \mathrm{supp} B_{m} = \left[0-\frac{m}{2},m-\frac{m}{2} \right] = \left[ -\frac{m}{2},\frac{m}{2} \right] $$
■
(b)
$$ \int _{-\infty} ^{\infty} N_{m}(x)dx=1 $$
であり、$B_{m}=T_{- \frac{m}{2}}N_{m}$であるため、
$$ \int _{-\infty} ^{\infty} B_{m}(x)dx=\int _{-\infty} ^{\infty} T_{-\frac{m}{2}}B_{m}(x)dx=1 $$
■
(c)
$$ \sum \limits_{k \in \mathbb{Z}} N_{m}(x-k)=1,\quad \forall x\in \mathbb{R} $$
であるため、
$$ \sum \limits_{k\in \mathbb{Z}}B_{m}(x-k)=\sum \limits_{k \in \mathbb{Z}} T_{-\frac{m}{2}}N_{m}(x-k)=1,\quad \forall x\in \mathbb{R} $$
■
(c')
$m=1$の時、$N_{m}$に対して$x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$が成立し、$B_{m}=T_{- \frac{m}{2}}N_{m}$であるため、$x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ \pm\frac{1}{2},\pm \frac{3}{2},\dots \right\}$に対して成立する。
■
(d)
B-スプラインのフーリエ変換は次の通りである。
$$ \widehat{N_{m}}(\gamma)=\left( \frac{1-e^{-2\pi i\gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} $$
すると、フーリエ変換の性質によって
$$ \mathcal{F}\left[ N_{m}(x+\frac{m}{2}) \right] (\gamma)=e^{2\pi i \frac{ m}{2} \gamma}\widehat{N_{m}}(\gamma) $$
であるため、
$$ \begin{align*} \widehat{B_{m}}(\gamma) =&\ \mathcal{F}\left[ B_{m}(x) \right] (\gamma) =\mathcal{F}\left[ N_{m}(x+\textstyle \frac{m}{2}) \right] (\gamma) \\ =&\ e^{2\pi i \frac{m}{2} \gamma}\widehat{N_{m}}(\gamma) \\ =&\ \left(e^{\pi i \gamma}\right)^{m}\left( \frac{1-e^{-2\pi i\gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} \\ =&\ \left( \frac{e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} \\ =&\ \left( \frac{\sin (\pi\gamma)}{\pi \gamma} \right)^{m} \end{align*} $$
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Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p208-209 ↩︎