📂フーリエ解析

セントラルB-スプライン

定義¹

$m\in \mathbb{N}$に関して、中心B-スプライン $B_{m}$を次のように定義する。

$$B_{m}(x):= T_{-\frac{m}{2}}N_{m}(x)=N_{m}(x+{\textstyle \frac{1}{2}})$$

ここで、$T$は$L^{2}$空間のトランスレーションである。

説明

次のように定義することもできる。

$$B_{1}:= \chi_{[-1/2,1/2]},\quad B_{m+1}:=B_{m}*B_{1},\ m\in\mathbb{N}$$

二つの定義は実際には同じ関数を意味している。ここでのキーポイントは$B_{m}$を偶関数になるように定義したことである。B-スプラインでは、次の式が成り立つことが簡単にわかる。

$$B_{m+1}(x)=\int _{-\infty} ^{\infty} B_{m}(x-t)B_{1}(t)dt=\int_{-{\textstyle \frac{1}{2}}}^{{\textstyle \frac{1}{2}}}B_{m}(x-t)dt$$

中心B-スプラインは、B-スプラインを平行移動したものに過ぎないので、B-スプラインの性質をそのまま持っている。

性質

(a) $\mathrm{supp} B_{m}=[-\frac{m}{2},\frac{m}{2}]$

(b) $\displaystyle \int _{-\infty} ^{\infty} B_{m}(x)dx=1$

(c) $m\ge 2$に対して、

$$\sum \limits_{k\in \mathbb{Z}}B_{m}(x-k)=1,\quad \forall x\in R$$

(c’) $m=1$の時、上記の式は$x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ \pm\frac{1}{2},\pm \frac{3}{2},\dots \right\}$に対して成立する。

(d) 中心B-スプラインのフーリエ変換は次のようである。

$$\widehat{B_{m}}(\gamma)=\left( \frac{e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m}=\left( \frac{\sin (\pi\gamma)}{\pi \gamma} \right)^{m}$$

ここで、$f$のフーリエ変換 $\widehat{f}$の定義は次の通りである。

$$\widehat{f}(\gamma):=\int _{-\infty} ^{\infty} f(x)e^{-2\pi i x\gamma}dx$$

証明

(a)

$\mathrm{supp}N_{m}=\left[ -\frac{m}{2}, \frac{m}{2} \right]$であり、$B_{m}=T_{- \frac{m}{2}}N_{m}$であるため、

$$\mathrm{supp} B_{m} = \left[0-\frac{m}{2},m-\frac{m}{2} \right] = \left[ -\frac{m}{2},\frac{m}{2} \right]$$

■

(b)

$$\int _{-\infty} ^{\infty} N_{m}(x)dx=1$$

であり、$B_{m}=T_{- \frac{m}{2}}N_{m}$であるため、

$$\int _{-\infty} ^{\infty} B_{m}(x)dx=\int _{-\infty} ^{\infty} T_{-\frac{m}{2}}B_{m}(x)dx=1$$

■

(c)

$$\sum \limits_{k \in \mathbb{Z}} N_{m}(x-k)=1,\quad \forall x\in \mathbb{R}$$

であるため、

$$\sum \limits_{k\in \mathbb{Z}}B_{m}(x-k)=\sum \limits_{k \in \mathbb{Z}} T_{-\frac{m}{2}}N_{m}(x-k)=1,\quad \forall x\in \mathbb{R}$$

■

(c')

$m=1$の時、$N_{m}$に対して$x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$が成立し、$B_{m}=T_{- \frac{m}{2}}N_{m}$であるため、$x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ \pm\frac{1}{2},\pm \frac{3}{2},\dots \right\}$に対して成立する。

■

(d)

B-スプラインのフーリエ変換は次の通りである。

$$\widehat{N_{m}}(\gamma)=\left( \frac{1-e^{-2\pi i\gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m}$$

すると、フーリエ変換の性質によって

$$\mathcal{F}\left[ N_{m}(x+\frac{m}{2}) \right] (\gamma)=e^{2\pi i \frac{ m}{2} \gamma}\widehat{N_{m}}(\gamma)$$

であるため、

$$\begin{align*} \widehat{B_{m}}(\gamma) =&\ \mathcal{F}\left[ B_{m}(x) \right] (\gamma) =\mathcal{F}\left[ N_{m}(x+\textstyle \frac{m}{2}) \right] (\gamma) \\ =&\ e^{2\pi i \frac{m}{2} \gamma}\widehat{N_{m}}(\gamma) \\ =&\ \left(e^{\pi i \gamma}\right)^{m}\left( \frac{1-e^{-2\pi i\gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} \\ =&\ \left( \frac{e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} \\ =&\ \left( \frac{\sin (\pi\gamma)}{\pi \gamma} \right)^{m} \end{align*}$$

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