📂解析学

部分列

定義

数列 $\left\{ a_{n} \right\}$が与えられているとする。自然数の数列 $\left\{ n_{k} : n_{i} \lt n_{i+1} \right\}_{ k \in \mathbb{N}}$ に対して$\left\{ a_{n_{k}} \right\}_{ k \in \mathbb{N}}$を$\left\{ a_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N}}$の部分数列^subsequenceと言う。

もし部分数列$\left\{ a_{n_{k}} \right\}$が収束するなら、その極限を$\left\{ a_{n} \right\}$の部分数列極限^{subsequential limit}と言う。

説明

部分数列とは、その名の通り、元の数列の部分となる数列を指す。

関連の定理

• 定理1: $\lim\limits_{n \to \infty} a_{2n} = L$ で $\lim\limits_{n \to \infty} a_{2n+1} = L$ のとき、$\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = L$ である。

• 定理2:

  $\mathbb{R}^{n}$ の全ての有界数列は収束する部分数列を持つ。