畳み込みノルム収束定理
定理
関数$g \in L^{1}$が有界で、$\int_{\mathbb{R}}g(y)dy=1$を満たしているとする。$f\in L^{2}$であり、$f$と$g$の畳み込み $f \ast g$が全ての$x\in \mathbb{R}$に対してよく定義されている場合、$f \ast g_{\epsilon}$は$f$にノルム収束する。
$$ \begin{equation} \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left\| f \ast g_{\epsilon} -f \right\| = 0 \label{eq1} \end{equation} $$
この場合、$g_{\epsilon}(y)=\frac{1}{\epsilon}g \left( \frac{y}{\epsilon} \right)$である。
「畳み込みノルム収束定理」という名前は、この定理に特につけられた名前がないため、勝手につけたものである。「畳み込み収束定理」(../1877)は、$f \ast g_{\epsilon}(x)$が$f(x)$にポイントワイズに収束することを示した定理であり、この定理は$f \ast g_{\epsilon}$という関数が自体が$f$に収束することを示す定理である。
証明
$\eqref{eq1}$を示すために、式を次のように整理しよう。
$$ \begin{align*} f \ast g_{\epsilon}(x)-f(x) &=\int f(x-y)g_{\epsilon}(y)dy-f(x)\int g_{\epsilon}(y)dy \\ &=\int \big[ f(x-y)-f(x)\big]g_{\epsilon}(y)dy \\ &=\int \big[ f(x-y)-f(x) \big] \frac{1}{\epsilon}g\left(\frac{y}{\epsilon} \right)dy \end{align*} $$
ここで$y=\epsilon z$と置換すると、次のようになる。
$$ \begin{align*} f \ast g_{\epsilon}(x)-f(x) &=\int \big[ f(x-y)-f(x) \big] \frac{1}{\epsilon}g\left(\frac{y}{\epsilon} \right)dy \\ &=\int \big[ f(x-\epsilon z)-f(x) \big] g\left(z\right)dz \\ &=\int \big[ T_{\epsilon z}f(x)-f(x) \big] g\left(z\right)dz \end{align*} $$
$1\le p < \infty$に対して、$f\in L^{p}$、$g \in L^{1}$であれば、以下の式が成立する。
$$ \left\| \int f(\cdot,y)g(y)dy \right\|_{p} \le \int \left\| f(\cdot,y) \right\|_{p} |g(y)|dy $$
すると、ミンコフスキーの不等式により、次が成立する。
$$ \begin{align*} \left\| f \ast g_{\epsilon}-f \right\|_{2} &= \left\| \int \big[ T_{\epsilon z}f-f \big] g\left(z\right)dz \right\|_{2} \\ &\le \int \left\| T_{\epsilon z }f-f \right\|_{2} \left| g(z) \right|dz \end{align*} $$
$g\in L^{1}$であり、$\left\| T_{\epsilon z }f-f \right\|_{2}\le 2\left\| f \right\|_{2}$であるため、$\left\| f \ast g_{\epsilon}-f \right\|_{2}$は有界である。
$1\le p <\infty$に対して、$f\in L^{p}$であり$z\in \mathbb{R}^{n}$であれば、次の式が成立する。
$$ \lim \limits_{y\to 0} \left\| T_{y+z}f-T_{z}f \right\|_{p}=0 $$
ここで$T$は平行移動を指す。
また、上記の事実により、次が成立する。
$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left\| T_{\epsilon z }f-f \right\|_{2}=0 $$
したがって、支配収束定理の条件を満たすので、証明は次の式を得て終わりである。
$$ \begin{align*} \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left\| f \ast g_{\epsilon}-f \right\|_{2} &\le \lim \limits_{\epsilon \to 0} \int \left\| T_{\epsilon z }f-f \right\|_{2} \left| g(z) \right|dz \\ &\le \int\lim \limits_{\epsilon \to 0} \left\| T_{\epsilon z }f-f \right\|_{2} \left| g(z) \right|dz \\ &= \int 0 \cdot \left| g(z) \right|dz \\ &=0 \end{align*} $$
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