📂多変数ベクトル解析

ベクトル値関数の積分

定義¹

$f_{1}$, $f_{2}$, $\dots$, $f_{k}$が区間$[a,b]$で実数値をとる関数だとしよう。そして$\mathbf{f} : [a,b] \to \mathbb{R}^{k}$が次のように定義されているとする。

$$\mathbf{f}(x)=\left( f_{1}(x),\dots,f_{k}(x) \right),\quad x\in [a,b]$$

この時、各$f_{k}$が区間$[a,b]$で可積分であれば、$\mathbf{f}$の積分を次のように定義する。

$$\int _{a} ^{b} \mathbf{f}dx = \left( \int _{a} ^{b}f_{1} dx, \dots, \int _{a} ^{b}f_{k} dx \right)$$

定理

$f : [a,b]\to \mathbb{R}$を満たす関数に関して以前に整理した内容がそのまま成立する。

微分積分学の基本定理2

ベクトル値関数$\mathbf{f}, \mathbf{F} : [a,b] \to \mathbb{R}^{k}$について、$\mathbf{f}$が可積分であり、$\mathbf{F}^{\prime}=\mathbf{f}$が成立するとしよう。すると次の式が成立する。

$$\int _{a} ^{b} \mathbf{f}(t)dt = \mathbf{F}(b)-\mathbf{F}(a)$$

積分の絶対値は絶対値の積分より小さい

$$\begin{equation} \left| \int _{a} ^{b} \mathbf{f}dx \right| \le \int _{a} ^{b} \left| \mathbf{f} \right| dx \label{eq1} \end{equation}$$

証明

$\mathbf{f}=\left( f_{1},\dots,f_{k} \right)$とすると、次が成立する。

$$\left| \mathbf{f} \right| =\left( f_{1}^{2}+\cdots +f_{k}^{2} \right)^{1/2}$$

積分は線形であり、関数の積は可積分性を保存するので、各$f_{i}^{2}$とそれらの和も可積分である。また、$x^{2}$がコンパクト集合$[a,b]$で連続なので、$x^{1/2}$も連続であり、連続ならば可積分である。連続関数の合成は可積分性を保存するので、次が成立する。$\left| \mathbf{f} \right|$は可積分である。

$\eqref{eq1}$を示すために、次のようにしよう。

$$\mathbf{y} = \left( y_{1},\dots,y_{k} \right) \quad \text{and} \quad y_{i}=\int f_{i}dx$$

すると、次が成立する。

$$\mathbf{y} = \left( y_{1},\dots,y_{k} \right) = \left( \int f_{i}dx, \dots, \int f_{k}dx \right) = \int \mathbf{f}dx$$

さらに、次を得る。

$$\left| \mathbf{y} \right| ^{2} = \sum \limits _{i=1} ^{k}y_{i}^{2} = \sum \limits _{i=1} ^{k}y_{i}\int f_{i}dx = \int \left( \sum \limits _{i=1} ^{k}y_{i}f_{i} \right) dx$$

すると、コーシー・シュワルツの不等式により、次が成立する。

$$\sum \limits _{i=1} ^{n} y_{i}f_{i}(t) \le \left| \mathbf{y} \right| \left| \mathbf{f}(t) \right|, \quad a\le t \le b$$

すると、$\left| \mathbf{y} \right| \ne 0$の時、次が成立する。

$$\begin{align*} && \left| \mathbf{y} \right| ^{2}\le \int \left| \mathbf{y} \right| \left| \mathbf{f} \right| dx \\ \implies && \left| \mathbf{y} \right| \le \int \left| \mathbf{f} \right|dx \\ \implies && \left| \int \mathbf{f}dx \right| \le \int \left| \mathbf{f} \right|dx \end{align*}$$

もちろん、$\left| \mathbf{y} \right| =0$の場合は自明に成立する。

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