📂ヒルベルト空間

内積空間

定義¹

$X$をベクトル空間とする。$\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in X$ 及び $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$(または $\mathbb{R}$)に対して、次の条件を満たす関数

$$ \langle \cdot , \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{C} $$

を内積と定義し、$\left( X, \langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$を内積空間と呼ぶ。

• 線形性: $$\langle \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y} ,\mathbf{z} \rangle =\alpha \langle \mathbf{x},\mathbf{z}\rangle + \beta \langle \mathbf{y},\mathbf{z}\rangle$$
• 共役対称性: $$\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = \overline{ \langle \mathbf{y},\mathbf{x} \rangle}$$
• 正定値性: $$\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle \ge 0 \quad \text{and} \quad \langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle = 0\iff \mathbf{x}=0$$

説明

線形性と共役対称性から、次の式が得られる。

$$ \begin{align*} \langle \mathbf{x},\alpha \mathbf{y}+\beta \mathbf{z} \rangle =&\ \overline{\langle \alpha \mathbf{y}+\beta \mathbf{z} ,\mathbf{x} \rangle} \\ =&\ \overline{\alpha \langle \mathbf{y},\mathbf{x} \rangle +\beta \langle \mathbf{z},\mathbf{x} \rangle} \\ =&\ \overline{\alpha}\overline{\langle \mathbf{y},\mathbf{x} \rangle}+\overline{\beta} \overline{\langle \mathbf{z},\mathbf{x} \rangle} \\ =&\ \overline{\alpha}\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle + \overline{\beta} \langle \mathbf{x},\mathbf{z} \rangle \end{align*} $$

これは二番目の要素に対してアンチリニアであることを意味する。物理学、工学等では、内積が少しだけ異なって定義されることもある。たとえば、第一成分に対してアンチリニアで、第二成分に対してはリニアに定義されることもある。一方で内積空間では、以下のようにコーシー・シュワルツの不等式が成り立つ。

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$(X, \langle \cdot ,\cdot \rangle)$が内積空間であるとする。すると、以下の不等式が成り立ち、これをコーシー・シュワルツの不等式と呼ぶ。

$$ \left| \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle \right| \le \langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle^{1/2} \langle \mathbf{y},\mathbf{y} \rangle ^{1/2},\quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y} \in X $$

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また、内積から以下のようにノルムを定義できる。

$$ \left\| \mathbf{x} \right\| := \sqrt{\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle},\quad \mathbf{x}\in X $$

このように内積から自然に導出されたノルムをassociated normとも呼ぶ。また、ノルムが与えられた場合には、ノルムから距離を定義できるので、距離空間の性質である完備性についても語ることができる。完備な内積空間をヒルベルト空間と呼ぶ。

特性

コーシー・シュワルツの不等式: 任意の $\mathbf{x},\mathbf{y}\in X$に対して、

$$ \left| \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle \right| \le \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\| $$

平行四辺形の法則: 任意の $\mathbf{x},\mathbf{y}\in X$に対して、

$$ \left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^{2} + \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^{2} = 2 \left( \left\| \mathbf{x} \right\| ^{2}+ \left\| \mathbf{y} \right\| ^{2} \right) $$

複素内積空間における偏極アイデンティティ: 複素内積空間 $X$及び任意の $\mathbf{x},\mathbf{y}\in X$に対して、

$$ \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = \frac{1}{4} \Big( \left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^{2} - \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^{2} + i \left( \left\| \mathbf{x} + iy \right\|^{2} - \left\| \mathbf{x} - iy \right\|^{2} \right) \Big) $$

実内積空間における偏極アイデンティティ: 実内積空間 $X$及び任意の $\mathbf{x},\mathbf{y}\in X$に対して、

$$ \langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \frac{1}{4} \left( \left\| \mathbf{x}+\mathbf{y} \right\|^{2} - \left\| \mathbf{x}-\mathbf{y} \right\| ^{2} \right) $$

ノルム対内積: 任意の $\mathbf{x} \in X$に対して、

$$ \left\| \mathbf{x} \right\| =\sup \left\{ \left| \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle \right| : \mathbf{y}\in X, \left\| \mathbf{y} \right\| =1 \right\} $$