ディラックのデルタ関数のフーリエ変換
式
関数 $f(x)$ のフーリエ変換を $\hat{f}(\xi) = \mathcal{F}[f] (x) = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i \xi x}dx$ とする。ディラックのデルタ関数 $\delta (x)$ のフーリエ変換は、以下の通りである。
$$ \hat{\delta}(\xi) = \mathcal{F}[\delta] (\xi) = 1 $$
$\delta (x - y)$ のフーリエ変換は
$$ \mathcal{F}[\delta (\cdot - y)] (\xi) = e^{-i\xi y} $$
説明
フーリエ変換の定義によって、前の定数は $1$ や $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ などになることがある。
証明
デルタ関数の性質 $f(x_{0}) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta (x - x_{0})dx$ により、
$$ \begin{align*} \mathcal{F}[\delta] (\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x)e^{-i\xi x}dx \\ &= e^{-i\xi x}|_{x=0} \\ &=1 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \mathcal{F}[\delta (\cdot - y)] (\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x-y)e^{-i\xi x}dx \\ &= e^{-i\xi x}|_{x=y} \\ &= e^{-i\xi y} \end{align*} $$
■