📂動力学

プアンカレ-ベンディクソン定理の証明

정리

$2$次元の多様体 $\mathcal{P}$ と関数 $f,g \in C^{r} \left( \mathcal{P} \right)$ に対して、次のようなベクトル場が微分方程式として与えられているとする。 $$\dot{x} = f(x,y) \\ \dot{y} = g(x,y)$$ $\mathcal{M}$ このベクトル場が有限個の不動点を持つ不変集合である場合、$p \in \mathcal{M}$ のオメガリミットセット $\omega (p)$ は次の三つのうちの一つを満たす：

• (1): $\omega (p)$ は単元素集合である。つまり、ただ一つの不動点のみを含む。
• (2): $\omega (p)$ は閉じた軌道である。
• (3): $\omega (p)$ は有限個の不動点 $p_{1} , \cdots , p_{n}$ のいくつかの $i,j \in [1,n]$ に対して次を満たす軌道 $\gamma$ から構成される。 $$\alpha ( \gamma ) = \left\{ p_{i} \right\} \\ \omega ( \gamma ) = \left\{ p_{j} \right\}$$

説明

距離空間は当然 $T_{1}$ 空間であり、$T_{1}$ では単元素集合が閉集合であることが保証されるため、$\omega (p) = \left\{ p \right\}$ は当然閉軌道と言えるが、ステートメントの文脈上、一つの不動点のみを含む場合は別のものとして区別しよう。

実際、ポアンカレ・ベンディクソンの定理では、カオスというものは定義される必要もなく、カオスが起こらないというステートメント自体は系に近い。定理が言うのは単にオメガリミットセットの分類であり、それが正確に我々が知っているもので構成されているため、カオスが起こることはないという事実が導かれるのである。しかし、このような定理があることにより、カオス理論の関心は$2$次元を確実に超えることができるようになる。

定理の直観的な理解はそれほど難しくない。$\mathcal{M}$ がバウンドされていない場合はそもそもカオスにならず、バウンドされている場合は永遠に伸び続けることはできず、フローが狭まって回るか広がって回るかしなければならない。しかし、$3$次元とは異なり、$2$次元では線が平面を二つの領域に分けてしまうため、そのうちの一つの領域を諦めなければならない状況が常に起こる。これは、限られた空間である$\mathcal{M}$ の残りの部分を時が経つにつれて捨てていくようなものと見ることができる。まだ通過していない領域を使用するために、すでに通過したフローを通過しようとすると、その瞬間それは閉じた軌道となり、結局閉じた軌道か不動点に収束することになり、カオスを引き起こすことはできない。

証明 ¹

戦略: ポアンカレの名前が付いた定理らしく、位相数学的である。$\mathcal{P}$ 内部で連続で連結なアーク(continuous, connected arc)を一つ$\Sigma$としよう。

$\Sigma$のすべての点での法線ベクトルとベクトル場の内積が$0$でなく、符号も変わらない場合、$\Sigma$は$\mathcal{P}$上のベクトル場を横切る^transverseと言う。この概念は一点に対してのみ考えることもできるが、その点ではベクトル場と$\Sigma$は接触しないだろう。フローの観点からは、一点で出会うだけでなく、$\Sigma$を貫通することになる。

与えられたベクトル場で作られるフローを$\phi_{t}$、フロー$\phi_{t}$の下で一点$p \in \mathcal{P}$の正の時間に対する軌道を$O_{+}(p)$として表そう。一点$p_{i}$がフロー$\phi_{t}$の下で時間$t$の流れに従って$p_{j}$に到達するまでの軌道を$\widehat{p_{i} p_{j}} \subset O_{+} (p)$として表そう。また、オメガリミットセットを表す$\omega ( \cdot )$は元々与えられた一点に対して定義されていたが、ある集合$X$に対する$\omega \left( X \right)$は次のように考えればよい。

$$\omega (X) := \bigcup_{x \in X} \omega (x)$$ これはアルファリミットセット$\alpha ( \cdot )$も同様に定義されたと考えればよい。

その他、次のような補助定理を続けて使用することになる。

補助定理(オメガリミットセットの性質): 全体空間がユークリッド空間$X = \mathbb{R}^{n}$であり、フロー$\phi_{t} ( \cdot )$でコンパクト不変集合$\mathcal{M}$の一点$p \in \mathcal{M}$が与えられているとする：

• [1]: $\omega (p) \ne \emptyset$
• [2]: $\omega (p)$は閉集合である。
• [3]: $\omega (p)$はフローに不変である。つまり、$\omega (p)$は軌道の合併である。
• [4]: $\omega (p)$は連結空間である。

まず、$2$次元で生じるオメガリミットセットは何らかの面積を持つ形状ではないため、以降言及されるオメガリミットセットは何らかの曲線の形状と考えればよい。

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Part 1.

$\Sigma \subset \mathcal{M}$がベクトル場を横切るアークである場合、$\mathcal{M}$が$2$次元ベクトル場の不変集合であるため、$\Sigma$がベクトル場の流れに逆らって$\mathcal{M}$の外へ出ることはできない。したがって、任意の$p \in \mathcal{M}$に対して、$O_{+} (p)$と$\Sigma$が交わる$k$番目の点を$p_{k}$とすると、$p_{k}\subset \widehat{p_{k-1} p_{k+1}} \subset O_{+} (p)$でなければならない。つまり、フローが$\mathcal{M}$内部に向かって収束していくが、その過程で$\Sigma$と交わる交点が近づいてまた遠ざかることは起こらないということである。

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Part 2. $p \in \mathcal{M}$のオメガリミットセット$\omega (p)$は$\Sigma$と多くとも一点でしか交差しない。

背理法で示す。$\omega (p)$と$\Sigma$が異なる二点$q , \overline{q}$で交差すると仮定してみる。

その場合、オメガリミットセットの定義により、$n \to \infty$のとき $$q_{n} \to q \\ \overline{q}_{n} \to \overline{q}$$ を満たすシーケンス$\left\{ q_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} , \left\{ \overline{q}_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset O_{+} (p)$が存在する。しかし、Part 1によれば、これらの交点はある順序$p_{1} , p_{2} , \cdots$に並べられるため、仮定に矛盾する。したがって、$\omega (p)$と$\Sigma$は最初から交差しないか、交差するとしてもただ一点でのみ交差する。[ 注: トーラスの場合には、この論理をそのまま適用することはできないが、いくつかの部分に分けて$\mathcal{M}$と同じ形状にすることで同じ結論を得ることができる。 ]

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Part 3. $\omega (p)$が不動点を含まない場合、閉じた軌道である。

$q \in \omega (p)$の軌道$O_{+}(q)$が閉じた軌道であることを示し、その後$\omega (p) = O_{+} (q)$であることを示せばよい。

• Part 3-1. 軌道$O_{+}(q)$は閉じている。
  • 点$x \in \omega (q)$を一つ選んでみると、補助定理[2]により$\omega (p)$が閉じており、不動点を持たない軌道の合併であるため、$x$も不動点であってはならない。$p,q$が混乱しないように、仮定は$\omega (p)$が不動点を持たないことであり、$x$は$x \in \omega (q)$であるため、必ずしも$x \in \omega (p)$である保証はないが、いずれにせよ不動点ではないと言える。この不動点でない一点$x$のベクトル場を横切る一つのアーク$\Sigma_{x}$を選ぼう。**Part 1.**によれば、$\Sigma_{x}$と$O_{+} (q)$の交点のシーケンス$\left\{ q_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$は$n \to \infty$のとき$q_{n} \to x$であり、$x \in \mathcal{M}$であるため、**Part 2.**により$\forall n \in \mathbb{N}$に対して$q_{n} = x$でなければならない。$x$は不動点ではないため、$O_{+} (q)$が$x$と交差する場合、離れた後に再び戻って交差しなければならない。ここで$x \in \omega (q)$としたので、$O_{+}(q)$は$x$に近づいて止まることなく、実際に$x$と交差し、したがって$O_{+}(q)$は閉じた軌道となる。
• Part 3-2. $O_{+}(q) = \omega (p)$
  • 点$q \in \omega (p)$からベクトル場を横切る一つのアーク$\Sigma_{q}$を選んでみると、Part 2により$\omega (p)$と$\Sigma_{q}$はただ$q$でのみ出会う。補助定理[3]により$\omega (p)$は軌道の合併であるため、$q \in \omega (p)$であれば$O_{+} (q) \subset \omega (p)$であるが、$\omega (p)$は不動点を含まず連結空間であるため、正確に$O_{+}(q) = \omega (p)$でなければならない。

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Part 4. $p \in \mathcal{M}$に対して異なる$p_{1} , p_{2} \in \omega (p)$がベクトル場の不動点である場合、$\alpha (\gamma) = \left\{ p_{1} \right\}$と$\omega (\gamma) = \left\{ p_{2} \right\}$を満たす軌道$\gamma \subset \omega (p)$は多くても一つしか存在しない。

背理法で示す。二点を結ぶ異なる二つの軌道があれば、その二つの軌道の間に面積を持つ何らかの領域$\mathcal{K}$が生じるだろう、そこから矛盾を導く。次の条件を満たす異なる二つの軌道$\gamma_{1} , \gamma_{2} \subset \omega (p)$が存在すると仮定しよう。 $$\alpha \left( \gamma_{i} \right) = \left\{ p_{1} \right\} \\ \omega \left( \gamma_{i} \right) = \left\{ p_{2} \right\}$$ これらの軌道から一点ずつ$q_{1} \in \gamma_{1}$、$q_{2} \in \gamma_{2}$を選び、$q_{1}$と$q_{2}$からベクトル場を横切るアークを$\Sigma_{1}, \Sigma_{2}$として選ぶ。

$\gamma_{1} , \gamma_{2} \subset \omega (p)$であるため、Part 2により、$O_{+} (p)$が$\Sigma_{1}$と一点$a$で交差した後、$\Sigma_{2}$は一点$b$で交差するとしよう。すると、$2$次元多様体上で次のような経路に囲まれた部分領域$\color{red}{\mathcal{K}}$が生じるだろう。

$$q_{1} \overset{\Sigma_{1}}{\to} a \overset{ O_{+} (p) }{ \to } b \overset{\Sigma_{2}}{\to} q_{2} \overset{ \omega (\gamma) }{ \to } p_{2} \overset{ \gamma_{1} }{ \gets } q_{1}$$ 記法$\displaystyle x \overset{\mathcal{C}}{\to} y$は点$x,y$がカーブ$\mathcal{C}$に繋がれたことを意味して使用された。$\color{red}{\mathcal{K}}$から始まったフローは$\gamma_{1} , \gamma_{2}$を超えることができないため、$\color{red}{\mathcal{K}}$は不変集合となる。しかし、$p$から始まった軌道$O_{+}(p)$が$\color{red}{\mathcal{K}}$に入ると、二度と出ることはできないということは、$\gamma_{1}$や$\gamma_{2}$が$\omega (p)$に属することはできないということである。例えば$\gamma_{2}$を考えると、$q_{2} \overset{\gamma_{2}}{\to} p_{2}$は$\omega (p)$に属することができるかもしれないが、その前部分である$p_{1} \overset{\gamma_{2}}{\to} q_{2}$には行けない。したがって、$\gamma_{2}$全体が$\omega (p)$に属するという主張はできず、$\gamma_{1} , \gamma_{2} \subset \omega (p)$と矛盾する。

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Part 5.

このパートでは、不動点でない点を正則点^{regular point}と呼ぼう。必ずしもこのパートに限定する必要はないが、不動点の否定という文脈が頻繁に出てこないのに対し、正則Regularという表現は学問を問わず頻繁に使用されるため、注意や警告なしに使用すると大きな混乱を引き起こす可能性があるためである。

• ケース1. $\omega (p)$が不動点のみを持つ場合
  • $\mathcal{M}$は有限個の不動点を持ち、$\omega (p)$は連結空間であるため、ただ一つの不動点のみを持たなければならない。
• ケース2. $\omega (p)$が正則点のみを持つ場合
  • Part 3により、$\omega (p)$は閉じた軌道である。
• ケース3. $\omega (p)$が不動点と正則点の両方を持つ場合
  • 正則点のみからなる軌道$\gamma \subset \omega (p)$を考える。

$\gamma$は正則点のみからなっているため、Part 3により、$\omega ( \gamma )$と$\alpha (\gamma)$は閉じた軌道であるが、その一方で不動点を持たなければならない。しかし、補助定理[4]により、$\omega ( \gamma )$は連結空間であるため、閉じた軌道と不動点が離れていることはできず、不動点は閉じた軌道のどこかに位置していなければならないが、これはすなわち$\omega ( \gamma )$が不動点のみを含む単元素集合であるということである。同じ議論を$\alpha ( \gamma )$で繰り返すと、$\omega (p)$のすべての正則点はそのオメガリミットポイントとアルファリミットポイントとして不動点を持つことがわかる。

$\omega (p)$は上記の三つのケースのいずれかに属していなければならない。これで証明は終わりである。

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