全微分、完全微分

定義

多変数関数$f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$が与えられたとしよう。変数$\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$の変化に伴う$f(\mathbf{x})$の変化を以下のように$df$と表し、これを$f$の全微分^{total differential}または完全微分^{exact differential}という。

$$ \begin{equation} df = \frac{ \partial f}{ \partial x_{1} }dx_{1} + \frac{ \partial f}{ \partial x_{2} }dx_{2} + \cdots + \frac{ \partial f}{ \partial x_{n} }dx_{n} \label{1} \end{equation} $$

説明

上記の定義は、変数$\mathbf{x}$の変化に伴う$f$の値の変化を

各成分の変化量$dx_{i}$に、各成分の変化に伴う$f$の変化率$\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}$を掛けた$\dfrac{ \partial f}{ \partial x_{i} }dx_{i}$を全て足し合わせること

と考えるという意味だ。以下の式を通して、この表記が直観的で便利であることが分かる。$f=f(x,y,z)$とするとき、

$$ \dfrac{df}{dx} = \frac{ \partial f}{ \partial x}\dfrac{dx}{dx} + \frac{ \partial f}{ \partial y}\dfrac{dy}{dx} + \frac{ \partial f}{ \partial z}\dfrac{dz}{dx} = \dfrac{\partial f}{\partial x} $$

物理学では、次のような形でも頻繁に登場する。$\left( x(t), y(t), z(t) \right)$について、

$$ \dfrac{d f}{d t} = \frac{ \partial f}{ \partial x}\dfrac{dx}{dt} + \frac{ \partial f}{ \partial y}\dfrac{dy}{dt} + \frac{ \partial f}{ \partial z}\dfrac{dz}{dt} $$

導出

2変数関数について、次のような方法で$\eqref{1}$を導出できる。$z=f(x,y)$が与えられたとしよう。$z$の全微分は変数$x$、$y$が変化するときの$z$の変化量であるから、以下のように表される。

$$ dz = f(x+dx,y+dy)-f(x,y) $$

ここで、右辺に$f(x,y+dy)$を引いて足してから式を整理すると、以下のようになる。 $$ \begin{align*} dz &= f(x+dx,y+dy) {\color{blue}-f(x,y+dy)+f(x,y+dy)}-f(x,y) \\ &= [f(x+dx,y+dy) -f(x,y+dy)]+[f(x,y+dy)-f(x,y)] \\ &= \frac{f(x+dx,y+dy) -f(x,y+dy)}{dx}dx+\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy \\ &\approx \frac{ \partial f}{ \partial x}dx + \frac{ \partial f}{ \partial y }dy \\ &= \frac{ \partial z}{ \partial x}dx+\frac{ \partial z}{ \partial y}dy \end{align*} $$

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