ベクトル場における体積
定義
ユークリッド空間の部分空間$D \subset \mathbb{R}^{n}$の体積$V$は、直交座標$\textbf{u} = (u_{1}, u_{2}, \cdots , u_{n})$で表された場合、次のように定義される。
$$ V(D) = \int_{D} du_{1} du_{2} \cdots d u_{n} $$
$\textbf{u} \in \mathbb{R}^{n}$がベクトル関数$\textbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$によって$\textbf{f} \left( \textbf{u} \right) = \left( f_{1} (\textbf{u}) , \cdots , f_{n} (\textbf{u}) \right)$のように変換された場合、$D$の体積は次のようになる。
$\displaystyle \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right|$は、次のように表すことができる$\textbf{f} (\textbf{u})$のヤコビ行列の行列式である。 $$ \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| = \det \begin{bmatrix} {{\partial f_{1} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{1} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{n} }} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{\partial f_{n} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{n} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{n} }} \end{bmatrix} $$
説明
人によっては$\displaystyle V(D) = \int_{D} \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| d u_{1} \cdots d u_{n}$を見ただけで怖くなるかもしれない。しかし、それを簡単に説明して理解させるためのポストなので、落ち着いて以下の説明を読もう。
体積とは$1$次元の長さ、$2$次元の面積、$3$次元の体積を$n \in \mathbb{N}$次元に対して一般化したものである。もちろん、Volumeは韓国語で体積と訳されるが、一般的に数学ではこれらを明確に区別して呼ぶことはなく、‘体積’と言うと$n=3$次元を想起させるため、そのまま[ボリューム]という表現を使うことにする。
座標系変換
ベクトル関数$\textbf{f}$は分野によって様々な使われ方をするかもしれないが、物理学の文脈で考えれば、座標系の変換として受け取っても構わない。例えば、以下のように$\textbf{f}$が与えられたとする。
$$ \begin{align*} \textbf{f} (r,\theta) =& \left( f_{1} (r,\theta) , f_{2} (r,\theta) \right) \\ =& \left( x (r,\theta) , y (r,\theta) \right) \\ =& (r \cos \theta , r \sin \theta) \end{align*} $$
これはすなわち極座標系となる。$\textbf{f}$を無くし、$x = x (r,\theta)$と$y = y (r,\theta)$を私たちに馴染みのある表現に変えてみると
$$ x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta $$
このヤコビ行列の行列式は
$$ \begin{align*} \det \begin{bmatrix} {{\partial x } \over {\partial r }} & {{\partial x } \over {\partial \theta }} \\ {{\partial y } \over {\partial r }} & {{\partial y } \over {\partial \theta }} \end{bmatrix} =& \det \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta \end{bmatrix} \\ =& r \cos^{2} \theta + r \sin^{2} \theta \\ =& r \end{align*} $$
だから、$2$次元で与えられた領域$R \subset \mathbb{R}^{2}$の面積(体積)$V(R)$は次のように計算される。
$$ V(R) = \int_{R} r dr d\theta $$
ここで混乱してはいけないのは、$\textbf{f}$が$(x,y)$を$(r,\theta)$にマッピングしたわけではないということだ。私たちは直交座標系の点$(x,y)$を表すために極座標系の点$(r, \theta)$を使ったので、$\textbf{f}$は$(r, \theta)$を$(x,y)$にマッピングしたのだ。
$V$はなぜそう定義されるのか
体積$V$がなぜそう定義されるかを説明するには、体積が導かれる過程を直接見る方が良い。まず、微小体積から見てみよう。一般に$3$次元以下では、次の$dx, dA, dV$は順に微小な長さ、微小な面積、微小な体積と呼ばれる。
$$ \begin{align*} dx =& dx \\ dA =& dxdy \\ dV =& dxdydz \end{align*} $$
$1$次元の区間$I = [x_{1},x_{2}]$の長さは
$$ (x_{2} - x_{1}) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} dx = \int_{I} dx $$
のように計算できるように、$2$次元の長方形$R = [x_{1}, x_{2}] \times [y_{1} , y_{2}]$の面積は
$$ (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) = \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} dxdy = \int_{R} dA $$
で得られ、$3$次元の直方体$D = [x_{1}, x_{2}] \times [y_{1} , y_{2}] \times [z_{1} , z_{2}]$の体積は
$$ (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1}) = \int_{z_{1}}^{z_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} dxdydz = \int_{D} dV $$
で表すことができる。直交座標でこのように体積を求める過程を一般化すると、微小体積
$$ dV = d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n} $$
の両辺に定積分$\displaystyle \int_{D}$を取ることになり、次のような表現を納得できるだろう。 $$ \int_{D} d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n} = \int_{D} dV = V(D) $$
ここで、$D$は特に閉区間のデカルト積である必要はなく、その形は円形であっても星形であっても構わない。ただ、実際の計算はかなり難しいかもしれないが、ちょうどその時、座標系の変換があれば、そのような数式の展開も楽にできるだろう。