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物理振り子 📂古典力学

物理振り子

定義1

重力の影響で固定された水平軸を中心に振動する剛体を物理振り子physical pendulumと呼ぶ。

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物理振り子

振り子の運動は調和振動の一種だ。質量中心に作用するトルクの大きさは以下の通りだ。

N=r×F=rFsinθ=lmgsinθ \begin{align*} N &=\left| \mathbf{r} \times \mathbf{F} \right| \\ &= rF\sin\theta \\ &=lmg \sin\theta \end{align*}

トルクを慣性モーメントで表すと、N=Iω˙=Iθ¨N=I \dot{\omega}=I\ddot{\theta}より運動方程式を得る。

Iθ¨=mglsinθ    Iθ¨mglsinθ=0    θ¨mglIsinθ=0 \begin{align*} && I\ddot{\theta} &= mgl\sin \theta \\ \implies&& I\ddot{\theta} -mgl\sin\theta &=0 \\ \implies && \ddot{\theta} -\frac{mgl}{I}\sin\theta &=0 \end{align*}

θ\thetaが十分小さい場合は、sinθθ\sin\theta \approx \thetaとなるので、運動方程式を以下のように書ける。

θ¨mglIθ=0 \ddot{\theta} - \frac{mgl}{I}\theta=0

上の微分方程式は単純調和振動と同じ形で、解は以下の通りだ。

θ(t)=θ0cos(2πf0tδ) \theta (t) = \theta _{0}\cos (2\pi f_{0}t-\delta)

ここでθ0\theta_{0}は振幅、δ\deltaは位相角、f0=12πmglIf_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{mgl }{I}}は振動数だ。周期は振動数の逆数なので、以下のようになる。

T0=1f0=2πImgl=2πk2gl \begin{equation} T_{0}=\frac{1}{f_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}}=2\pi \sqrt{\frac{ k^{2}}{gl}} \label{eq1} \end{equation}

この時、kk回転半径だ。上の結果は、長さがk2l\frac{k^{2}}{l}単振り子の運動の周期と同じだ。

振動中心

並行軸定理を用いれば、慣性モーメントIIを質量中心に関する慣性モーメントIcmI_{cm}で表すことができる。

I=Icm+ml2 I=I_{cm}+ml^{2}

回転半径で表せば、以下の通りだ。

mk2=mkcm2+ml2 mk^{2}=mk_{cm}^{2}+ml^{2}

上記の式でmmを簡約すると、以下の式を得る。

k2=kcm2+l2 k^{2}=k_{cm}^{2}+l^{2}

これを周期(eq1)\eqref{eq1}に代入すると、以下のようになる。

T0=2πkcm2+l2gl T_{0}=2\pi \sqrt{\frac{k_{cm}^{2} +l^{2}}{gl}}

ここで、回転軸がOOからOO^{\prime}に変わった状況を考えてみよう。すると、回転軸OO^{\prime}に対する周期は、以下のように分かる。

T0=2πkcm2+l2gl T_{0}^{\prime}=2\pi \sqrt{\frac{k_{cm}^{2}+{l^{\prime}}^{2}}{gl^{\prime}}}

したがって、以下の条件 kcm2+l2l=kcm2+l2l \frac{k_{cm}^{2} +l^{2}}{l}=\frac{k_{cm}^{2}+{l^{\prime}}^{2}}{l^{\prime}}

を満たす時、回転軸OOと回転軸OO^{\prime}の周りの振動周期は同じであることが分かる。上記の式は、以下のように簡単に表現できる。

l(kcm2+l2)=l(kcm2+l2)    (ll)kcm2=ll(ll)    kcm2=ll \begin{align*} &&l^{\prime}(k_{cm}^{2}+l^{2}) &= l(k_{cm}^{2}+{l^{\prime}}^{2}) \\ \implies && (l^{\prime}-l)k_{cm}^{2}&=ll^{\prime}(l^{\prime}-l) \\ \implies && k_{cm}^{2}=ll^{\prime} \end{align*}

この時、点OO^{\prime}を点OOに対する振動中心と呼ぶ。逆に、点OOは点OO^{\prime}の振動中心だ。


  1. Grant R. Fowles and George L. Cassiday, Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p338-340 ↩︎