物理振り子
📂古典力学物理振り子
定義
重力の影響で固定された水平軸を中心に振動する剛体を物理振り子physical pendulumと呼ぶ。

物理振り子
振り子の運動は調和振動の一種だ。質量中心に作用するトルクの大きさは以下の通りだ。
N=∣r×F∣=rFsinθ=lmgsinθ
トルクを慣性モーメントで表すと、N=Iω˙=Iθ¨より運動方程式を得る。
⟹⟹Iθ¨Iθ¨−mglsinθθ¨−Imglsinθ=mglsinθ=0=0
θが十分小さい場合は、sinθ≈θとなるので、運動方程式を以下のように書ける。
θ¨−Imglθ=0
上の微分方程式は単純調和振動と同じ形で、解は以下の通りだ。
θ(t)=θ0cos(2πf0t−δ)
ここでθ0は振幅、δは位相角、f0=2π1Imglは振動数だ。周期は振動数の逆数なので、以下のようになる。
T0=f01=2πmglI=2πglk2
この時、kは回転半径だ。上の結果は、長さがlk2の単振り子の運動の周期と同じだ。
振動中心
並行軸定理を用いれば、慣性モーメントIを質量中心に関する慣性モーメントIcmで表すことができる。
I=Icm+ml2
回転半径で表せば、以下の通りだ。
mk2=mkcm2+ml2
上記の式でmを簡約すると、以下の式を得る。
k2=kcm2+l2
これを周期(eq1)に代入すると、以下のようになる。
T0=2πglkcm2+l2
ここで、回転軸がOからO′に変わった状況を考えてみよう。すると、回転軸O′に対する周期は、以下のように分かる。
T0′=2πgl′kcm2+l′2
したがって、以下の条件
lkcm2+l2=l′kcm2+l′2
を満たす時、回転軸Oと回転軸O′の周りの振動周期は同じであることが分かる。上記の式は、以下のように簡単に表現できる。
⟹⟹l′(kcm2+l2)(l′−l)kcm2kcm2=ll′=l(kcm2+l′2)=ll′(l′−l)
この時、点O′を点Oに対する振動中心と呼ぶ。逆に、点Oは点O′の振動中心だ。