logo

2次元自律システムにおける周期軌道の不在 📂動力学

2次元自律システムにおける周期軌道の不在

ピリオディックオービットに関する考察

通常、自律システムピリオディックオービットが存在するかどうかに関する質問はかなり厄介だが、1,21,2次元空間であれば、その不在について比較的簡単に議論することができる。空間X=RX = \mathbb{R}またはX=R2X = \mathbb{R}^{2}、関数f:XXf : X \to Xについて、次のようなベクトル場微分方程式によって与えられているとしよう。 x˙=f(x) \dot{x} = f(x)

1次元

11次元自律システムでは、ピリオディックオービットは存在しない。これは明らかで、簡単に背理法によって証明できるが、その証明よりも、11次元ベクトル場を幾何学的、直感的に理解することが非常に意味がある。

20200906_221037.png

11次元であっても、ベクトル場はベクトル場であり、全てのxRx \in \mathbb{R}に対して、x˙=f(x)\dot{x} = f(x)に従った方向と大きさが正確に一つずつ与えられなければならない。しかし、ピリオディックオービットが存在した場合、その間にある点は左にも、右にも行くことができるべきだ。このような点の存在は、システムがベクトル場によって定義されるものと矛盾し、結果的にいかなる11次元自律システムもピリオディックオービットを持つことができないことになる。

2次元

22次元自律システムでは、領域とパラメータに応じてピリオディックオービットが存在しないことを示すことができる。

  • (2-1):例としてダンピングオシレーターを考えよう: x˙=f(x,y)=yy˙=g(x,y)=xx3δy,δ0 \begin{align*} \dot{x} =& f(x,y) = y \\ \dot{y} =& g(x,y) = x - x^{3} - \delta y \qquad , \delta \ge 0 \end{align*}

    ベンディクソンの基準: 単純連結領域DR2D \subset \mathbb{R}^{2}fx+gy0 {{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} \ne 0 符号が変わらなければ、与えられた22次元ベクトル場はDD内部に閉じたオービットを持たない。

    全ての(x,y)R2(x,y) \in \mathbb{R}^{2}に対してfx=0\displaystyle {{ \partial f } \over { \partial x }} = 0であり、gy=δ\displaystyle {{ \partial g } \over { \partial y }} = - \deltaであるため fx+gy=δ {{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} = - \delta ここでδ>0\delta >0ならば、全空間R2R2\mathbb{R}^{2} \subset \mathbb{R}^{2}fx+gy<0{{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} <0となり、ピリオディックオービットを持たない。これは、物理的直感でも説明できる。δ>0\delta>0とは、エネルギーが継続して失われて最終的には停止することを意味し、ピリオディックオービットの存在しないことを意味しており、δ=0\delta=0であれば、減衰が起こらず、ガリレオの思考実験のようにエネルギーが保存されて永遠に同じ動きを繰り返すだろう。

  • (2-2): 22次元自律システムでも、ピリオディックオービットが存在することができる。これをわざわざ指摘するのは、(2-1)δ=0\delta = 0の場合はピリオディックオービットが存在すると明確に指摘しているにもかかわらず、ベンディクソンの強烈な印象のためにどうしても22次元ではピリオディックオービットが存在しないと誤解されがちだからだ。例として、別のパラメータのない単純な自律システムを考えてみよう: x˙=yy˙=x \dot{x} = -y \\ \dot{y} = x この微分方程式の解は時間ttに対して (x,y)=(cost,sint) (x,y) = \left( \cos t , \sin t \right) のように表現できるので、初期値がp0=(1,0)p_{0} = (1,0)であれば、そのフローは半径11の単位円を回る形になるだろう。したがって、p0p_{0}を通るオービットは次のように表現できる。 O(p0):={(x,y)R2:x2+y2=1} O(p_{0}) := \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} = 1 \right\}

3次元

一方で、このような議論が22次元までしかない理由は、33次元になると、フローを回避する方法が無数に生じるからである。ベクトル場で定義された動力学系では、2次元空間は1つのカーブによって正確に二つに分割することができる。これは、そのようなカーブに会わずに勝手に行動する特異なフローが存在し得ないことを意味し、そのカーブが収縮したり膨張したりすると、そのカーブが作る内部と外部のように分離された二つのフロー陣営にも影響が及ぶという意味になる。

33次元空間を二分することができるのは曲面であり、動力学の関心をここまで引き上げるためには、システムは偏微分方程式によって定義される必要があるだろう。同様に、より高い次元、またはそれとホメオモルフマニホールドを考えたい場合は、それに応じて空間を扱うレベルも上がる必要がある。