2次元自律システムにおける周期軌道の不在
ピリオディックオービットに関する考察
通常、自律システムでピリオディックオービットが存在するかどうかに関する質問はかなり厄介だが、$1,2$次元空間であれば、その不在について比較的簡単に議論することができる。空間$X = \mathbb{R}$または$X = \mathbb{R}^{2}$、関数$f : X \to X$について、次のようなベクトル場が微分方程式によって与えられているとしよう。 $$ \dot{x} = f(x) $$
1次元
$1$次元自律システムでは、ピリオディックオービットは存在しない。これは明らかで、簡単に背理法によって証明できるが、その証明よりも、$1$次元ベクトル場を幾何学的、直感的に理解することが非常に意味がある。
$1$次元であっても、ベクトル場はベクトル場であり、全ての$x \in \mathbb{R}$に対して、$\dot{x} = f(x)$に従った方向と大きさが正確に一つずつ与えられなければならない。しかし、ピリオディックオービットが存在した場合、その間にある点は左にも、右にも行くことができるべきだ。このような点の存在は、システムがベクトル場によって定義されるものと矛盾し、結果的にいかなる$1$次元自律システムもピリオディックオービットを持つことができないことになる。
2次元
$2$次元自律システムでは、領域とパラメータに応じてピリオディックオービットが存在しないことを示すことができる。
(2-1):例としてダンピングオシレーターを考えよう: $$ \begin{align*} \dot{x} =& f(x,y) = y \\ \dot{y} =& g(x,y) = x - x^{3} - \delta y \qquad , \delta \ge 0 \end{align*} $$
ベンディクソンの基準: 単純連結領域$D \subset \mathbb{R}^{2}$で $$ {{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} \ne 0 $$ 符号が変わらなければ、与えられた$2$次元ベクトル場は$D$内部に閉じたオービットを持たない。
全ての$(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$に対して$\displaystyle {{ \partial f } \over { \partial x }} = 0$であり、$\displaystyle {{ \partial g } \over { \partial y }} = - \delta$であるため $$ {{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} = - \delta $$ ここで$\delta >0$ならば、全空間$\mathbb{R}^{2} \subset \mathbb{R}^{2}$で${{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} <0$となり、ピリオディックオービットを持たない。これは、物理的直感でも説明できる。$\delta>0$とは、エネルギーが継続して失われて最終的には停止することを意味し、ピリオディックオービットの存在しないことを意味しており、$\delta=0$であれば、減衰が起こらず、ガリレオの思考実験のようにエネルギーが保存されて永遠に同じ動きを繰り返すだろう。
(2-2): $2$次元自律システムでも、ピリオディックオービットが存在することができる。これをわざわざ指摘するのは、（2-1） で$\delta = 0$の場合はピリオディックオービットが存在すると明確に指摘しているにもかかわらず、ベンディクソンの強烈な印象のためにどうしても$2$次元ではピリオディックオービットが存在しないと誤解されがちだからだ。例として、別のパラメータのない単純な自律システムを考えてみよう： $$ \dot{x} = -y \\ \dot{y} = x $$ この微分方程式の解は時間$t$に対して $$ (x,y) = \left( \cos t , \sin t \right) $$ のように表現できるので、初期値が$p_{0} = (1,0)$であれば、そのフローは半径$1$の単位円を回る形になるだろう。したがって、$p_{0}$を通るオービットは次のように表現できる。 $$ O(p_{0}) := \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} = 1 \right\} $$
3次元
一方で、このような議論が$2$次元までしかない理由は、$3$次元になると、フローを回避する方法が無数に生じるからである。ベクトル場で定義された動力学系では、2次元空間は1つのカーブによって正確に二つに分割することができる。これは、そのようなカーブに会わずに勝手に行動する特異なフローが存在し得ないことを意味し、そのカーブが収縮したり膨張したりすると、そのカーブが作る内部と外部のように分離された二つのフロー陣営にも影響が及ぶという意味になる。
$3$次元空間を二分することができるのは曲面であり、動力学の関心をここまで引き上げるためには、システムは偏微分方程式によって定義される必要があるだろう。同様に、より高い次元、またはそれとホメオモルフなマニホールドを考えたい場合は、それに応じて空間を扱うレベルも上がる必要がある。