📂距離空間

コンパクト距離空間上の連続関数が一様連続であることの証明

定理

$(X,d_{X})$がコンパクト距離空間で、$(Y,d_{Y})$が距離空間で、 $f:X\to Y$が連続だとする。すると、$f$は$X$で一様連続である。

説明

コンパクトという条件は外せない。

証明

任意の正数$\varepsilon >0$が与えられたとする。$f$が連続であると仮定すると、定義により、各点$p\in X$に対して以下の式を満たす正数$\delta_{p}$が存在する。

$$\forall q\in X,\quad d_{X}(p,q)<\delta_{p} \implies d_{Y}(f(p),f(q))<\frac{\varepsilon}{2}$$

次に、以下のような集合を考える。

$$N_{p}:= \left\{ q : d_{X}(p,q)<\frac{1}{2}\delta_{p} \right\}$$

$p \in N_{p}$であるから、全ての$N_{p}$のコレクションは$X$のオープンカバーになる。$X$はコンパクトと仮定されているので、以下の式を満たす$p_{1},\cdots,p_{n}$が存在する。

$$\begin{equation} X \subset N_{p_{1}}\cup \cdots \cup N_{p_{n}} \tag{2} \label{eq1} \end{equation}$$

今、$\delta=\frac{1}{2} \min (\delta_{p_{1}},\cdots,\delta_{p_{n}})$とする。すると、$\delta$は明らかに正である。今、$d_{X}(p,q)<\delta$を満たす二点$p,q \in X$を考える。すると、$\eqref{eq1}$により、$p \in N_{p_{m}}$を満たす$m(1\le m \le n)$が存在する。従って、以下が成り立つ。

$$d_{X}(p,p_{m}) \le \frac{1}{2}\delta_{p_{m}}$$

すると、以下の式が成り立つ。

$$d_{X}(q,p_{m}) \le d_{X}(q,p) + d_{X}(p,p_{m}) < \delta + \frac{1}{2}\delta_{p_{m}} \le \delta _{p_{m}}$$

従って、

$$d_{X}(p,q)<\delta \implies d_{Y}(f(p),f(q))\le d_{Y}(f(p),f(p_{m})) + d_{Y}(f(p_{m}),f(q))<\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon$$

が成り立つので、$f$は一様連続である。

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