logo

距離空間における関数の極限の性質 📂距離空間

距離空間における関数の極限の性質

定理1

(X,d)(X,d)距離空間EXE\subset Xを部分集合、ppEE集積点とする。そして、EEで定義された2つの複素数値関数f:ECf:E\to \mathbb{C}g:ECg: E\to \mathbb{C}が与えられたとする。そして、両関数がそれぞれppで以下のような極限を持つとする。

limxpf(x)=Aandlimxpg(x)=B \begin{equation} \lim \limits_{x \to p}f(x)=A \quad \text{and} \quad \lim \limits_{x \to p}g(x)=B \tag{1} \label{thm1} \end{equation}

すると、以下が成り立つ。

(a) limxp(f+g)(x)=A+B\lim \limits_{x \to p}(f+g)(x)=A+B

(b) limxp(fg)(x)=AB\lim \limits_{x \to p}(fg)(x)=AB

(c) limxp(fg)(x)=AB, B0\lim \limits_{x \to p}\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{A}{B},\ B\ne 0

証明

(a)

補題1

XXYYEEffppが定義で説明されたようにする。すると、以下の二つの命題は同値である。

補題1によって、(1a) を示すことは、ppに収束するすべての数列{pn}\left\{ p_{n} \right\}について、数列{(f+g)(pn)}\left\{ (f+g)(p_{n}) \right\}A+BA+Bに収束することを示すことと同じである。しかし、(thm1)\eqref{thm1}と仮定したので数列{f(pn)}\left\{ f(p_{n}) \right\}{g(pn)}\left\{ g(p_{n}) \right\}はそれぞれAABBに収束する。

補題2

{sn}\left\{ s_{n} \right\}{tn}\left\{ t_{n} \right\}が実数(または複素数)の数列で、limnsn=s\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}=slimntn=t\lim\limits_{n\to\infty}t_{n}=tとする。すると、以下が成り立つ。

  • limn(sn+tn)=s+t\lim \limits_{n\to\infty}(s_{n}+t_{n})=s+t

  • limnsntn=st\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}t_{n}=st

  • sn0,s0,limn1sn=1s\forall s_{n}\ne 0,s\ne0,\quad \lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{s_{n}}=\frac{1}{s}

すると、補題2の最初の性質によって、ppに収束するすべての{pn}\left\{ p_{n} \right\}について、以下が成立する。

limn(f(pn)+g(pn))=A+B \lim \limits_{n\to\infty} (f(p_{n})+g(p_{n}))=A+B

(b) (c)

同様に、補題2の二つ目、三つ目の性質も成立する。

定理2

定理1と同様に、f:ERk\mathbf{f}:E \to \mathbb{R}^{k}g:ERk\mathbf{g}:E\to \mathbb{R}^{k}とする。そして、

limxpf(x)=Aandlimxpg(x)=B \lim \limits_{x \to p}\mathbf{f}(x)=\mathbf{A} \quad \text{and} \quad \lim \limits_{x \to p} \mathbf{g}(x)=\mathbf{B}

を仮定する。すると、以下が成立する。

limxp(fg)(x)=AB \lim \limits_{x \to p} (\mathbf{f}\cdot \mathbf{g})(x)=\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}


ユークリッド空間Rk\mathbb{R}^{k}で収束する数列の性質を利用すれば、直ちに得られる事実であるため、別途証明は不要である。