距離空間における関数の極限の性質
📂距離空間距離空間における関数の極限の性質
定理1
(X,d)を距離空間、E⊂Xを部分集合、pをEの集積点とする。そして、Eで定義された2つの複素数値関数f:E→C、g:E→Cが与えられたとする。そして、両関数がそれぞれpで以下のような極限を持つとする。
x→plimf(x)=Aandx→plimg(x)=B(1)
すると、以下が成り立つ。
(a) x→plim(f+g)(x)=A+B
(b) x→plim(fg)(x)=AB
(c) x→plim(gf)(x)=BA, B=0
証明
(a)
補題1
X、Y、E、f、pが定義で説明されたようにする。すると、以下の二つの命題は同値である。
補題1によって、(1a) を示すことは、pに収束するすべての数列{pn}について、数列{(f+g)(pn)}がA+Bに収束することを示すことと同じである。しかし、(thm1)と仮定したので数列{f(pn)}と{g(pn)}はそれぞれA、Bに収束する。
補題2
{sn}、{tn}が実数(または複素数)の数列で、n→∞limsn=s、n→∞limtn=tとする。すると、以下が成り立つ。
n→∞lim(sn+tn)=s+t
n→∞limsntn=st
∀sn=0,s=0,n→∞limsn1=s1
すると、補題2の最初の性質によって、pに収束するすべての{pn}について、以下が成立する。
n→∞lim(f(pn)+g(pn))=A+B
■
(b) (c)
同様に、補題2の二つ目、三つ目の性質も成立する。
■
定理2
定理1と同様に、f:E→Rk、g:E→Rkとする。そして、
x→plimf(x)=Aandx→plimg(x)=B
を仮定する。すると、以下が成立する。
x→plim(f⋅g)(x)=A⋅B
ユークリッド空間Rkで収束する数列の性質を利用すれば、直ちに得られる事実であるため、別途証明は不要である。