すべてのk-cellはコンパクトである：ユークリッド空間でコンパクトである同値条件。
定義
$a_i, b_i \in \mathbb{R} (1 \le i \le k)$に対して、集合$I=[a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times \cdots \times [a_{k}, b_{k}]$を**$k$-セル**と言う。ここで$\times$は集合のデカルト積である。
定理1
$\mathbb{R}$上の閉区間の数列$\left\{ I_{n} \right\}$が$I_{n} \supset I_{n+1}\ (n=1,2,\cdots)$を満たすとする。すると以下が成立する。
$$ \bigcap_{i=1}^{\infty}I_{n}\ne \varnothing $$
証明
$I_{n}=[a_{n}, b_{n}]$とする。そして$E=\left\{ a_{n} : n=1,2,\cdots \right\}$とする。すると$E\ne \varnothing$であり、$b_{1}$1によって上限がある。今$x=\sup E$とする。そして任意の二つの正数$m$、$n$に対して
$$ a_{n} \le a_{m+n} \le b_{m+n} \le b_{m} $$
が成立するので、すべての$n$に対して$x\le b_{n}$である。また$x$が$E$の上限であるため、すべての$n$に対して$a_{n} \le x$であることは明らかである。したがって、すべての$n$に対して$a_{n}\le x \le b_{n}$なので、$x\in I_{n}\ \forall n$である。したがって
$$ x\in \bigcap _{i=1}^{n}I_{n} $$
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定理2
$\left\{ I_{n} \right\}$が$I_{n}\supset I_{n+1}(n=1,2,\cdots)$を満たす$k-$セルの数列であるとする。すると$\bigcap_{i=1}^{n}I_{n}\ne\varnothing$である。
定理2は定理1を$\mathbb{R}^{k}$に拡張したものである。
証明
$I_{n}$を以下のようにする。
$$ I_{n}=\left\{ \mathbf{x}=(x_{1},\cdots,x_{k}) : a_{n,j} \le x_{j} \le b_{nj},\quad(1\le j \le k;\ n=1,2,\cdots) \right\} $$
すなわち$I_{n}=I_{n,1}\times \cdots\times I_{n,k}\ (I_{n,j}=[a_{n,j},b_{n,j}])$である。すると定理1によって、それぞれの$I_{n,j}$に対して$x_{j}^{\ast}\in I_{n,j} \ (a_{n,j} \le x_{j}^{\ast} \le b_{n,j})$が存在する。したがって
$$ \mathbf{x^{\ast}} =(x_{1}^{\ast},\cdots ,x_{k}^{\ast})\in I_{n} ,\quad (n=1,2,\cdots) $$
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定理3
すべての$k-$セルはコンパクトである。
証明
$I$を以下のような任意の$k$-セルとする。
$$ I=I^{1}\times \cdots \times I^{k}=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{k},b_{k}] $$
そして以下のようにする。
$$ \mathbf{x}=(x_{1},\cdots,x_{k}) \quad \text{and} \quad a_{j} \le x_{j} \le b_{j}(1\le j \le k) $$
今$\delta$を以下のようにする。
$$ \delta =\left( \sum \limits_{j=1}^{k}(b_{j})-a_{j})^{2} \right)^{{\textstyle \frac{1}{2}}}=|\mathbf{b}-\mathbf{a}| $$
このとき$\mathbf{a}=(a_{1},\cdots,a_{n})$、$\mathbf{b}=(b_{1},\cdots,b_{n})$である。すると$\delta$は$\mathbf{b}$と$\mathbf{a}$の間の距離と同じである。したがって
$$ |\mathbf{x}-\mathbf{y}| \le \delta \quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in I $$
が成立する。今から証明が本格的に始まるが、背理法を使用する。つまり$k-$セルがコンパクトでないと仮定する。するとコンパクトの定義によって、$I$のいくつかのオープンカバー$\left\{ O_{\alpha} \right\}$が有限部分カバーを持たないと仮定することと同じである。$c_{j}=(a_{j}+b_{j})/2$とする。すると$c_{j}$を使って各$I^{j}$を$[a_{j},c_{j}]$、$[c_{j},b_{j}]$に分けて$2^{k}$個の$1-$セルを作ることができる。これらの和集合は当然$I$になり、仮定によりこれらの中で少なくとも一つは$\left\{ O_{\alpha} \right\}$のいくつかの有限部分カバーでカバーされなければならない。そのセルを$I_{1}$とする。すると$I$から$I_{1}$を選んだのと同じ方法で続けて区間を選ぶと、以下の三つの規則を満たす数列$\left\{ I_{n} \right\}$を得ることができる。
$(\mathrm{i})$ $I\supset I_{1} \supset I_{2}\supset \cdots$
$(\mathrm{ii})$ それぞれの$I_{n}$は$\left\{ O_{\alpha} \right\}$のいくつかの有限部分カバーでもカバーされない。
$(\mathrm{iii})$ $|\mathbf{x}-\mathbf{y}|\le 2^{-n}\delta,\quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in I_{n}$
すると$(\mathrm{i})$と定理2によって、すべての$n$に対して$\mathbf{x}^{\ast}\in I_{n}$である$\mathbf{x}^{\ast}$が存在する。すると$\left\{ O_{\alpha} \right\}$が$I$のオープンカバーであるため、いくつかの$\alpha$に対して$\mathbf{x}^{\ast
}\in O_{\alpha}$が成立する。$O_{\alpha}$が開集合であるため、$|\mathbf{x}^{\ast}-\mathbf{y}|<r \implies \mathbf{y}\in O_{\alpha}$を満たす$r>0$が存在する。一方で、$n$を十分大きくして$2^{-n}\delta<r$を満たすようにすることができる。すると$(\mathrm{iii})$によって$I_{n}\subset O_{\alpha}$である。しかし、これは$(\mathrm{ii})$と矛盾するので、仮定が間違っていることがわかる。したがって、すべての$k-$セルはコンパクトである。
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上記の事実から以下の有用な定理を証明することができる。
ユークリッド空間でコンパクトである同値条件
実数（または複素数）空間の部分集合$E\subset \mathbb{R}^{k}(\mathrm{or}\ \mathbb{C}^{k})$に対して、以下の三つの命題は同値である。
(a) $E$は閉じており有界である。
(b) $E$はコンパクトである。
(c) $E$のすべての無限部分集合は集積点 $p \in E$を持つ。
ここで**(a)、(b)が同値であることはハイネ・ボレルの定理と呼ばれる。(c)を満たす$E$に対して’$E$は’集積点コンパクトである’または’$E$は’ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの性質を持つ’と言う。(b)と(c)**が同値であることは距離空間では成立するが、位相空間では一般的には成立しない。
証明
(a) $\implies$ (b)
**(a)**を仮定すると、$E \subset I$を満たす$k-$セル$I$が存在する。すると$I$がコンパクトであり、コンパクト集合の閉じた部分集合はコンパクトであるため、$E$はコンパクトである。
(b) $\implies$ (c)
背理法で証明する。
$S$がコンパクト集合$E$の無限部分集合であるとする。そして$S$の集積点が存在しないと仮定する。するとすべての$p\in E$は、せいぜい$S$の点をただ一つだけ含む$p$の近傍$N_{p}$を持つ。$p \in S$の場合、そのただ一つの点は$p$である。そしてこれは、オープンカバー$\left\{ N_{p} \right\}$が$S$をカバーする有限部分カバーを持たないことを意味する。$S \subset E$なので、同様に$E$をカバーする有限部分カバーも存在しない。これは$E$がコンパクトであるという仮定に矛盾するので、$S$は集積点$p \in E$を持つ。
(c) $\implies$ (a)
背理法で証明する。
part 1. $E$は有界である
$E$は有界ではないと仮定してみる。すると$E$は以下の不等式を満たす点$\mathbf{x}_{n}$を含む。
$$ |\mathbf{x}_{n}| >n\quad (n=1,2,\cdots) $$
今$S=\left\{ \mathbf{x}_{n} : n=1,2,\cdots\right\}$とする。すると$S$は無限集合であり、$\mathbb{R}^{k}$で集積点を持たないことは明らかである。これは$(c)$に対する矛盾である。したがって$E$は有界である。
part 2. $E$は閉じている。
$E$は閉じていないと仮定してみる。すると定義により$E$に含まれない$E$の集積点$\mathbf{x}_{0}$が存在する。今$n=1,2,\cdots$に対して$\mathbf{x}_{n} \in E$を以下の条件を満たす点とする。
$$ \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x}_{0} \right| < {\textstyle \frac{1}{n}} $$
そしてこのような$\mathbf{x}_{n}$の集合を$S$とする。すると$S$は無限集合であり、$\mathbf{x}_{0}$を集積点として持つ。今$\mathbf{x}_{0}$が$S$の唯一の集積点であれば、$\mathbf{x}_{0}\notin E$であるため$(c)$に矛盾し、$E$は閉じていることがわかる。それでは$\mathbf{y} \ne \mathbf{x}_{0}$である$\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{k}$を考える。すると
$$ \begin{align*} \left| \mathbf{x}_{n} - \mathbf{y} \right| & \ge \left|\mathbf{x}_{0} - \mathbf{y} \right| - \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x}_{0} \right| \\ & \ge \left| \mathbf{x}_{0} - \mathbf{y} \right| -\frac{1}{n} \end{align*} $$
このとき十分に大きな$n$に対して以下の式が成立する。
$$ \begin{equation} \left| \mathbf{x}_{n} - \mathbf{y} \right| \ge \left| \mathbf{x}_{0}- \mathbf{y} \right|-\frac{1}{n} \ge \frac{1}{2}\left|\mathbf{x}_{0}-\mathbf{y} \right| \label{eq1} \end{equation} $$
また$\mathbf{x}_{n
}$の条件により、$n$が大きくなるにつれて$\mathbf{x}_{n}$は$\mathbf{x}_{0}$に近づく。この事実と$\eqref{eq1}$により、$n$を続けて大きくすると$\mathbf{y}$を含まない$\mathbf{y}$の近傍を見つけることができる。したがって$\mathbf{y}$は$S$の集積点ではなく、$\mathbf{x}_{0}$が$S$の唯一の集積点であることから$(c)$に矛盾し、$E$は閉じている。
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ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理
$\mathbb{R}^{k}$のすべての有界な無限部分集合は集積点$p \in \mathbb{R}^{k}$を持つ。
証明
$E$を$\mathbb{R}^{k}$の有界な無限部分集合とする。すると$E$が有界であるため、$E \subset I$を満たす$k-$セル$I$が存在する。$k-$セルはコンパクトであるため、$I$はコンパクトである。すると$I$がコンパクトである同値条件$(b)\implies (c)$によって、$E$は集積点$p \in I \subset \mathbb{R}^{k}$を持つ。
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任意の$b_{n}$で問題ない。 ↩︎