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すべてのk-cellはコンパクトである：ユークリッド空間でコンパクトである同値条件。 📂距離空間

すべてのk-cellはコンパクトである：ユークリッド空間でコンパクトである同値条件。

定義

ai,bi∈R(1≤i≤k)a_i, b_i \in \mathbb{R} (1 \le i \le k)に対して、集合I=[a1,b1]×[a2,b2]×⋯×[ak,bk]I=[a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times \cdots \times [a_{k}, b_{k}]を**kk-セル**と言う。ここで×\timesは集合のデカルト積である。

定理1

R\mathbb{R}上の閉区間の数列{In}\left\{ I_{n} \right\}がIn⊃In+1 (n=1,2,⋯ )I_{n} \supset I_{n+1}\ (n=1,2,\cdots)を満たすとする。すると以下が成立する。

⋂i=1∞In≠∅ \bigcap_{i=1}^{\infty}I_{n}\ne \varnothing

証明

In=[an,bn]I_{n}=[a_{n}, b_{n}]とする。そしてE={an:n=1,2,⋯ }E=\left\{ a_{n} : n=1,2,\cdots \right\}とする。するとE≠∅E\ne \varnothingであり、b1b_{1}1によって上限がある。今x=sup⁡Ex=\sup Eとする。そして任意の二つの正数mm、nnに対して

an≤am+n≤bm+n≤bm a_{n} \le a_{m+n} \le b_{m+n} \le b_{m}

が成立するので、すべてのnnに対してx≤bnx\le b_{n}である。またxxがEEの上限であるため、すべてのnnに対してan≤xa_{n} \le xであることは明らかである。したがって、すべてのnnに対してan≤x≤bna_{n}\le x \le b_{n}なので、x∈In ∀nx\in I_{n}\ \forall nである。したがって

x∈⋂i=1nIn x\in \bigcap _{i=1}^{n}I_{n}

■

定理2

{In}\left\{ I_{n} \right\}がIn⊃In+1(n=1,2,⋯ )I_{n}\supset I_{n+1}(n=1,2,\cdots)を満たすk−k-セルの数列であるとする。すると⋂i=1nIn≠∅\bigcap_{i=1}^{n}I_{n}\ne\varnothingである。

定理2は定理1をRk\mathbb{R}^{k}に拡張したものである。

証明

InI_{n}を以下のようにする。

In={x=(x1,⋯ ,xk):an,j≤xj≤bnj,(1≤j≤k; n=1,2,⋯ )} I_{n}=\left\{ \mathbf{x}=(x_{1},\cdots,x_{k}) : a_{n,j} \le x_{j} \le b_{nj},\quad(1\le j \le k;\ n=1,2,\cdots) \right\}

すなわちIn=In,1×⋯×In,k (In,j=[an,j,bn,j])I_{n}=I_{n,1}\times \cdots\times I_{n,k}\ (I_{n,j}=[a_{n,j},b_{n,j}])である。すると定理1によって、それぞれのIn,jI_{n,j}に対してxj∗∈In,j (an,j≤xj∗≤bn,j)x_{j}^{\ast}\in I_{n,j} \ (a_{n,j} \le x_{j}^{\ast} \le b_{n,j})が存在する。したがって

x∗=(x1∗,⋯ ,xk∗)∈In,(n=1,2,⋯ ) \mathbf{x^{\ast}} =(x_{1}^{\ast},\cdots ,x_{k}^{\ast})\in I_{n} ,\quad (n=1,2,\cdots)

■

定理3

すべてのk−k-セルはコンパクトである。

証明

IIを以下のような任意のkk-セルとする。

I=I1×⋯×Ik=[a1,b1]×⋯×[ak,bk] I=I^{1}\times \cdots \times I^{k}=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{k},b_{k}]

そして以下のようにする。

x=(x1,⋯ ,xk)andaj≤xj≤bj(1≤j≤k) \mathbf{x}=(x_{1},\cdots,x_{k}) \quad \text{and} \quad a_{j} \le x_{j} \le b_{j}(1\le j \le k)

今δ\deltaを以下のようにする。

δ=(∑j=1k(bj)−aj)2)12=∣b−a∣ \delta =\left( \sum \limits_{j=1}^{k}(b_{j})-a_{j})^{2} \right)^{{\textstyle \frac{1}{2}}}=|\mathbf{b}-\mathbf{a}|

このときa=(a1,⋯ ,an)\mathbf{a}=(a_{1},\cdots,a_{n})、b=(b1,⋯ ,bn)\mathbf{b}=(b_{1},\cdots,b_{n})である。するとδ\deltaはb\mathbf{b}とa\mathbf{a}の間の距離と同じである。したがって

∣x−y∣≤δ∀x,y∈I |\mathbf{x}-\mathbf{y}| \le \delta \quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in I

が成立する。今から証明が本格的に始まるが、背理法を使用する。つまりk−k-セルがコンパクトでないと仮定する。するとコンパクトの定義によって、IIのいくつかのオープンカバー{Oα}\left\{ O_{\alpha} \right\}が有限部分カバーを持たないと仮定することと同じである。cj=(aj+bj)/2c_{j}=(a_{j}+b_{j})/2とする。するとcjc_{j}を使って各IjI^{j}を[aj,cj][a_{j},c_{j}]、[cj,bj][c_{j},b_{j}]に分けて2k2^{k}個の1−1-セルを作ることができる。これらの和集合は当然IIになり、仮定によりこれらの中で少なくとも一つは{Oα}\left\{ O_{\alpha} \right\}のいくつかの有限部分カバーでカバーされなければならない。そのセルをI1I_{1}とする。するとIIからI1I_{1}を選んだのと同じ方法で続けて区間を選ぶと、以下の三つの規則を満たす数列{In}\left\{ I_{n} \right\}を得ることができる。

  • (i)(\mathrm{i}) I⊃I1⊃I2⊃⋯I\supset I_{1} \supset I_{2}\supset \cdots

  • (ii)(\mathrm{ii}) それぞれのInI_{n}は{Oα}\left\{ O_{\alpha} \right\}のいくつかの有限部分カバーでもカバーされない。

  • (iii)(\mathrm{iii}) ∣x−y∣≤2−nδ,∀x,y∈In|\mathbf{x}-\mathbf{y}|\le 2^{-n}\delta,\quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in I_{n}

すると(i)(\mathrm{i})と定理2によって、すべてのnnに対してx∗∈In\mathbf{x}^{\ast}\in I_{n}であるx∗\mathbf{x}^{\ast}が存在する。すると{Oα}\left\{ O_{\alpha} \right\}がIIのオープンカバーであるため、いくつかのα\alphaに対して$\mathbf{x}^{\ast

}\in O_{\alpha}が成立する。が成立する。O_{\alpha}が開集合であるため、が開集合であるため、|\mathbf{x}^{\ast}-\mathbf{y}|<r \implies \mathbf{y}\in O_{\alpha}を満たすを満たすr>0が存在する。一方で、が存在する。一方で、nを十分大きくしてを十分大きくして2^{-n}\delta<rを満たすようにすることができる。するとを満たすようにすることができる。すると(\mathrm{iii})によってによってI_{n}\subset O_{\alpha}である。しかし、これはである。しかし、これは(\mathrm{ii})と矛盾するので、仮定が間違っていることがわかる。したがって、すべてのと矛盾するので、仮定が間違っていることがわかる。したがって、すべてのk-$セルはコンパクトである。

■

上記の事実から以下の有用な定理を証明することができる。

ユークリッド空間でコンパクトである同値条件

実数（または複素数）空間の部分集合E⊂Rk(or Ck)E\subset \mathbb{R}^{k}(\mathrm{or}\ \mathbb{C}^{k})に対して、以下の三つの命題は同値である。

(a) EEは閉じており有界である。

(b) EEはコンパクトである。

(c) EEのすべての無限部分集合は集積点 p∈Ep \in Eを持つ。

ここで**(a)、(b)が同値であることはハイネ・ボレルの定理と呼ばれる。(c)を満たすEEに対して’EEは’集積点コンパクトである’または’EEは’ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの性質を持つ’と言う。(b)と(c)**が同値であることは距離空間では成立するが、位相空間では一般的には成立しない。

証明

  • (a)   ⟹  \implies (b)

    **(a)**を仮定すると、E⊂IE \subset Iを満たすk−k-セルIIが存在する。するとIIがコンパクトであり、コンパクト集合の閉じた部分集合はコンパクトであるため、EEはコンパクトである。

  • (b)   ⟹  \implies (c)

    背理法で証明する。

    SSがコンパクト集合EEの無限部分集合であるとする。そしてSSの集積点が存在しないと仮定する。するとすべてのp∈Ep\in Eは、せいぜいSSの点をただ一つだけ含むppの近傍NpN_{p}を持つ。p∈Sp \in Sの場合、そのただ一つの点はppである。そしてこれは、オープンカバー{Np}\left\{ N_{p} \right\}がSSをカバーする有限部分カバーを持たないことを意味する。S⊂ES \subset Eなので、同様にEEをカバーする有限部分カバーも存在しない。これはEEがコンパクトであるという仮定に矛盾するので、SSは集積点p∈Ep \in Eを持つ。

  • (c)   ⟹  \implies (a)

    背理法で証明する。

    • part 1. EEは有界である

      EEは有界ではないと仮定してみる。するとEEは以下の不等式を満たす点xn\mathbf{x}_{n}を含む。

      ∣xn∣>n(n=1,2,⋯ ) |\mathbf{x}_{n}| >n\quad (n=1,2,\cdots)

      今S={xn:n=1,2,⋯ }S=\left\{ \mathbf{x}_{n} : n=1,2,\cdots\right\}とする。するとSSは無限集合であり、Rk\mathbb{R}^{k}で集積点を持たないことは明らかである。これは(c)(c)に対する矛盾である。したがってEEは有界である。

    • part 2. EEは閉じている。

      EEは閉じていないと仮定してみる。すると定義によりEEに含まれないEEの集積点x0\mathbf{x}_{0}が存在する。今n=1,2,⋯n=1,2,\cdotsに対してxn∈E\mathbf{x}_{n} \in Eを以下の条件を満たす点とする。

      ∣xn−x0∣<1n \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x}_{0} \right| < {\textstyle \frac{1}{n}}

      そしてこのようなxn\mathbf{x}_{n}の集合をSSとする。するとSSは無限集合であり、x0\mathbf{x}_{0}を集積点として持つ。今x0\mathbf{x}_{0}がSSの唯一の集積点であれば、x0∉E\mathbf{x}_{0}\notin Eであるため(c)(c)に矛盾し、EEは閉じていることがわかる。それではy≠x0\mathbf{y} \ne \mathbf{x}_{0}であるy∈Rk\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{k}を考える。すると

      ∣xn−y∣≥∣x0−y∣−∣xn−x0∣≥∣x0−y∣−1n \begin{align*} \left| \mathbf{x}_{n} - \mathbf{y} \right| & \ge \left|\mathbf{x}_{0} - \mathbf{y} \right| - \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x}_{0} \right| \\ & \ge \left| \mathbf{x}_{0} - \mathbf{y} \right| -\frac{1}{n} \end{align*}

      このとき十分に大きなnnに対して以下の式が成立する。

      ∣xn−y∣≥∣x0−y∣−1n≥12∣x0−y∣ \begin{equation} \left| \mathbf{x}_{n} - \mathbf{y} \right| \ge \left| \mathbf{x}_{0}- \mathbf{y} \right|-\frac{1}{n} \ge \frac{1}{2}\left|\mathbf{x}_{0}-\mathbf{y} \right| \label{eq1} \end{equation}

      また$\mathbf{x}_{n

}の条件により、の条件により、nが大きくなるにつれてが大きくなるにつれて\mathbf{x}_{n}はは\mathbf{x}_{0}に近づく。この事実とに近づく。この事実と\eqref{eq1}により、により、nを続けて大きくするとを続けて大きくすると\mathbf{y}を含まないを含まない\mathbf{y}の近傍を見つけることができる。したがっての近傍を見つけることができる。したがって\mathbf{y}ははSの集積点ではなく、の集積点ではなく、\mathbf{x}_{0}ががSの唯一の集積点であることからの唯一の集積点であることから(c)に矛盾し、に矛盾し、E$は閉じている。

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ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理

Rk\mathbb{R}^{k}のすべての有界な無限部分集合は集積点p∈Rkp \in \mathbb{R}^{k}を持つ。

証明

EEをRk\mathbb{R}^{k}の有界な無限部分集合とする。するとEEが有界であるため、E⊂IE \subset Iを満たすk−k-セルIIが存在する。k−k-セルはコンパクトであるため、IIはコンパクトである。するとIIがコンパクトである同値条件(b)  ⟹  (c)(b)\implies (c)によって、EEは集積点p∈I⊂Rkp \in I \subset \mathbb{R}^{k}を持つ。

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  1. 任意のbnb_{n}で問題ない。 ↩︎