メートル空間における近傍、限界点、オープン、クローズド 📂距離空間

メートル空間における近傍、限界点、オープン、クローズド

定義

$(X,d)$ が距離空間だとしよう。 $p \in X$ であり、 $E \subset X$ とする。

$d(q,p)<r$ を満たすすべての $q$ を含む集合を点 $p$ の近傍^neighborhoodと定義し、 $N_{r}(p)$ と表記する。このとき $r$ を $N_{r}(p)$ の半径と呼ぶ。距離を省略できる場合は $N_{p}$ のように表記することもある。
$p$ のすべての近傍が $q\ne p$ であり、 $q\in E$ の $q$ を含む場合、 $p$ を $E$ の集積点^{limit point}と呼ぶ。
$p\in E$ でありながら $p$ が $E$ の集積点でない場合、 $p$ を $E$ の孤立点^{isolated point}と呼ぶ。
$E$ のすべての集積点が $E$ に含まれる場合、 $E$ が閉じている^closedという。
$N\subset E$ を満たす $p$ の近傍 $N$ が存在する場合、 $p$ を $E$ の内点^{interior point}と呼ぶ。
$E$ のすべての点が $E$ の内点である場合、 $E$ が開いている^openという。
$p \in X$ であり $p \notin E$ のすべての $p$ を含む集合を $E$ の補集合^complementと呼び、 $E^{c}$ と表記する。
$E$ が閉じており $E$ のすべての点が $E$ の集積点である場合、 $E$ が完全^perfectであるという。
$\forall p\in E,\ d(p,q)<M$ を満たす点 $q\in X$ と実数 $M$ が存在する場合、 $E$ を有界^boundedと呼ぶ。
$X$ のすべての点が $E$ の集積点であるか $E$ の点である場合、 $E$ は $X$ で密^denseであるという。
$E$ のすべての集積点の集合を $E$ の導出集合^{derived set}と呼び、 $E^{\prime}$ と表記する。
$E$ と $E^{\prime}$ の和集合を閉包^closureと呼び、 $\overline{E}=E\cup E^{\prime}$ と表記する。

説明

上で述べる開、集積点、密、内点などは他のステートメントで定義されることもあるが、本質的には同じである。それぞれの概念をなぜ上のように定義し、名前を付けたのかは、1次元、2次元で直接図を描いてみれば感覚が簡単につかめるだろう。孤立点は集積点でない点と定義されるため、孤立点でありながら同時に集積点であることはできない。これとは異なり、開集合と閉集合はそれぞれ独立した条件で定義される。したがって、名前から感じられる直感とは異なり、開いていると同時に閉じている集合や、開いても閉じてもいない集合が存在することがある。前者の例として $\mathbb{R}^{2}$ があり、後者の例として $\left\{ {\textstyle \frac{1}{n}}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}$ がある。内点と近傍の定義をよく考えると、 $x$ が $E$ の内点である条件は

$d(x,p) <\varepsilon \implies x \in E$

が成立するようなある正数 $\varepsilon>0$ が存在することと同じである。上の概念と関連するいくつかの定理と証明を紹介する。上の定義での表記に従う。

定理1

すべての近傍は開集合である。

証明

$E=N_{r}(p)$ としよう。また、任意の $q \in E$ を考える。すると、近傍の定義により、以下の式を満たす正の実数 $h$ が必ず存在する。

$d(p,q)=r-h<r$

すると、距離の定義により、 $d(q,s)<h$ を満たすすべての $s$ に対して、以下の式が成立する。

$d(p,s)\le d(p,q)+d(q,s)<(r-h)+h=r$

したがって、近傍の定義により、 $s \in E$ である。これは、▷eq68

◁の近傍 $N_{h}(q)$ 内の任意の点 $s$ も $E$ の要素であることを示している。したがって、 $N_{h}(q) \subset E$ であるため、 $q$ は $E$ の内点である。最初に $q$ を $E$ の任意の点としたので、 $E$ のすべての点は内点である。よって、 $E$ は開集合である。

■

定理2

集合 $E$ が開集合であることと $E^c$ が閉集合であることは同値である。

証明

$(\impliedby)$
$E^c$ が閉じていると仮定する。今、任意の $p\in E$ について考える。すると $p \notin E^c$ であり、閉じている定義により $p$ は $E^c$ の集積点ではない。したがって、 $N \cap E^c=\varnothing$ を満たす $p$ の近傍 $N$ が存在する。これは $N \subset E$ を意味し、内点の定義により $p$ は $E$ の内点である。任意の $p\in E$ がすべて $E$ の内点であるため、定義により $E$ は開集合である。
$(\implies)$
$E$ が開いていると仮定する。そして、 $p$ を $E^{c}$ の集積点とする。すると、集積点の定義により、 $p$ のすべての近傍は少なくとも一つの $E^{c}$ の点を含む。すると、 $p$ のすべての近傍は $E$ に含まれず、これは $p$ が $E$ の内点ではないことを意味する。 $E$ は開いていると仮定したので、 $p\notin E$ である。したがって、 $E^{c}$ のすべての集積点 $p$ が $E^{c}$ に含まれるので、 $E^{c}$ は閉じている。

■

定理3

$p$ を $E$ の集積点としよう。すると、 $p$ の近傍は無数に多くの $E$ の点を要素として持つ。

これを別の言い方をすると、「有限集合は集積点を持たない」「集積点を持つ集合は無限集合である」ということである。

証明

$p$ の近傍 $N$ が $E$ の有限個の要素のみを含むと仮定しよう。そして、 $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ を $p$ ではない $N\cap E$ の点としよう。そして、 $p$ と $q_{i}$ の距離の中で最小値を $r$ とする。

$r= \min \limits _{1\le i \le n}d(p,q_{i})$

各々の $q_{i}$ は $p$ と異なる点であるため、すべての距離は正であり、正の数の中で最小値を選んでも正であるため、 $r>0$ である。今、 $p$ の別の近傍 $N_{r}(p)$ を考える。すると、近傍と距離の定義により、 $N_{r}(p)$ にはいかなる $q_{i}$ も含まれない。すると、集積点の定義により、 $p$ は $E$ の集積点ではない。これは、 $p$ が $E$ の集積点であるという事実に矛盾する。したがって、帰納法により仮定が間違っていることがわかる。したがって、上の定理は成立する。

■

系

有限個の点のみを持つ集合は集積点を持たない。

定理4

距離空間 $(X,d)$ と $E \subset X$ に対して、以下の事実が成立する。 $(a)$ $\overline{E}$ は閉じている。 $(b)$ $E=\overline{E}$ であることと同値は $E$ が閉じていることである。 $(c)$ $E\subset F$ を満たすすべての閉集合 $F\subset X$ に対して $\overline{E} \subset F$ が成立する。

$(a)$ と $(c)$ によって、 $\overline{E}$ は $E$ を含む最小の $X$ の閉部分集合である。