メートル空間における近傍、限界点、オープン、クローズド
定義
$(X,d)$が距離空間だとしよう。$p \in X$であり、$E \subset X$とする。
$d(q,p)<r$を満たすすべての$q$を含む集合を点$p$の近傍neighborhoodと定義し、$N_{r}(p)$と表記する。このとき$r$を$N_{r}(p)$の半径と呼ぶ。距離を省略できる場合は$N_{p}$のように表記することもある。
$p$のすべての近傍が$q\ne p$であり、$q\in E$の$q$を含む場合、$p$を$E$の集積点limit pointと呼ぶ。
$p\in E$でありながら$p$が$E$の集積点でない場合、$p$を$E$の孤立点isolated pointと呼ぶ。
$E$のすべての集積点が$E$に含まれる場合、$E$が閉じているclosedという。
$N\subset E$を満たす$p$の近傍$N$が存在する場合、$p$を$E$の内点interior pointと呼ぶ。
$E$のすべての点が$E$の内点である場合、$E$が開いているopenという。
$p \in X$であり$p \notin E$のすべての$p$を含む集合を$E$の補集合complementと呼び、$E^{c}$と表記する。
$E$が閉じており$E$のすべての点が$E$の集積点である場合、$E$が完全perfectであるという。
$\forall p\in E,\ d(p,q)<M$を満たす点$q\in X$と実数$M$が存在する場合、$E$を有界boundedと呼ぶ。
$X$のすべての点が$E$の集積点であるか$E$の点である場合、$E$は$X$で密denseであるという。
$E$のすべての集積点の集合を$E$の導出集合derived setと呼び、$E^{\prime}$と表記する。
$E$と$E^{\prime}$の和集合を閉包closureと呼び、$\overline{E}=E\cup E^{\prime}$と表記する。
説明
上で述べる開、集積点、密、内点などは他のステートメントで定義されることもあるが、本質的には同じである。それぞれの概念をなぜ上のように定義し、名前を付けたのかは、1次元、2次元で直接図を描いてみれば感覚が簡単につかめるだろう。孤立点は集積点でない点と定義されるため、孤立点でありながら同時に集積点であることはできない。これとは異なり、開集合と閉集合はそれぞれ独立した条件で定義される。したがって、名前から感じられる直感とは異なり、開いていると同時に閉じている集合や、開いても閉じてもいない集合が存在することがある。前者の例として$\mathbb{R}^{2}$があり、後者の例として$\left\{ {\textstyle \frac{1}{n}}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}$がある。内点と近傍の定義をよく考えると、$x$が$E$の内点である条件は
$$ d(x,p) <\varepsilon \implies x \in E $$
が成立するようなある正数$\varepsilon>0$が存在することと同じである。上の概念と関連するいくつかの定理と証明を紹介する。上の定義での表記に従う。
定理1
すべての近傍は開集合である。
証明
$E=N_{r}(p)$としよう。また、任意の$q \in E$を考える。すると、近傍の定義により、以下の式を満たす正の実数$h$が必ず存在する。
$$ d(p,q)=r-h<r $$
すると、距離の定義により、$d(q,s)<h$を満たすすべての$s$に対して、以下の式が成立する。
$$ d(p,s)\le d(p,q)+d(q,s)<(r-h)+h=r $$
したがって、近傍の定義により、$s \in E$である。これは、▷eq68
◁の近傍$N_{h}(q)$内の任意の点$s$も$E$の要素であることを示している。したがって、$N_{h}(q) \subset E$であるため、$q$は$E$の内点である。最初に$q$を$E$の任意の点としたので、$E$のすべての点は内点である。よって、$E$は開集合である。
■
定理2
集合$E$が開集合であることと$E^c$が閉集合であることは同値である。
証明
$(\impliedby)$
$E^c$が閉じていると仮定する。今、任意の$p\in E$について考える。すると$p \notin E^c$であり、閉じている定義により$p$は$E^c$の集積点ではない。したがって、$N \cap E^c=\varnothing$を満たす$p$の近傍$N$が存在する。これは$N \subset E$を意味し、内点の定義により$p$は$E$の内点である。任意の$p\in E$がすべて$E$の内点であるため、定義により$E$は開集合である。
$(\implies)$
$E$が開いていると仮定する。そして、$p$を$E^{c}$の集積点とする。すると、集積点の定義により、$p$のすべての近傍は少なくとも一つの$E^{c}$の点を含む。すると、$p$のすべての近傍は$E$に含まれず、これは$p$が$E$の内点ではないことを意味する。$E$は開いていると仮定したので、$p\notin E$である。したがって、$E^{c}$のすべての集積点$p$が$E^{c}$に含まれるので、$E^{c}$は閉じている。
■
定理3
$p$を$E$の集積点としよう。すると、$p$の近傍は無数に多くの$E$の点を要素として持つ。
これを別の言い方をすると、「有限集合は集積点を持たない」「集積点を持つ集合は無限集合である」ということである。
証明
$p$の近傍$N$が$E$の有限個の要素のみを含むと仮定しよう。そして、$q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$を$p$ではない$N\cap E$の点としよう。そして、$p$と$q_{i}$の距離の中で最小値を$r$とする。
$$ r= \min \limits _{1\le i \le n}d(p,q_{i}) $$
各々の$q_{i}$は$p$と異なる点であるため、すべての距離は正であり、正の数の中で最小値を選んでも正であるため、$r>0$である。今、$p$の別の近傍$N_{r}(p)$を考える。すると、近傍と距離の定義により、$N_{r}(p)$にはいかなる$q_{i}$も含まれない。すると、集積点の定義により、$p$は$E$の集積点ではない。これは、$p$が$E$の集積点であるという事実に矛盾する。したがって、帰納法により仮定が間違っていることがわかる。したがって、上の定理は成立する。
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系
有限個の点のみを持つ集合は集積点を持たない。
定理4
距離空間$(X,d)$と$E \subset X$に対して、以下の事実が成立する。$(a)$ $\overline{E}$は閉じている。$(b)$ $E=\overline{E}$であることと同値は$E$が閉じていることである。$(c)$ $E\subset F$を満たすすべての閉集合$F\subset X$に対して$\overline{E} \subset F$が成立する。
$(a)$と$(c)$によって、$\overline{E}$は$E$を含む最小の$X$の閉部分集合である。