等差数列の和を求める
数式
最初の項が$a$で、公差が$d$の等差数列$a_{n} = a+(n-1)d$について $$ \sum_{k=1}^{n} a_{k}= {{n \left\{ 2a + (n-1)d \right\} } \over {2}} $$
説明
最初に一度見て、この形でまた書くことはないかもしれない級数だけど、証明を忘れてはいけない。証明が簡単で明確でも、一度は必ず手で直接書きながら覚えるようにしよう。
等差数列の和で最もよく使われるのは、自然数$n$までの和だ。この場合、$a=1$で、$d=1$の等差数列になる。
自然数の和
$$ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} {k} = {{n(n+1)} \over {2}} \end{align*} $$
受験生なら、あまりにも頻繁に使うので、$n=10$の時は55、$n=100$の時は5050って覚えているだろう。大学生になっても意外とよく使うので、全部忘れてもこの公式だけは忘れないでおこう。
証明
$$ \begin{align*} S:= \sum_{k=1}^{n} a_{k} \end{align*} $$とすると $$ S= a + (a+d) + \cdots + (a + (n-2)d) + (a + (n-1)d) $$なのだが、この順序を逆に書くと $$ S = \left\{ a + (n-1)d \right\} + \left\{ a + (n-2)d \right\} + \cdots + (a+d) + a $$でもある。両辺を足すと $$ 2S = \left[ \left\{ 2a + (n-1)d \right\} + \left\{ 2a + (n-1)d \right\} + \cdots +\left\{ 2a + (n-1)d \right\} + \left\{ 2a + (n-1)d \right\} \right] $$なのだが、全て$n$項を足したので $$ 2S = n \left\{ 2a + (n-1)d \right\} $$両辺を2で割ると、次を得る。 $$ \sum_{k=1}^{n} a_{k}= {{n \left\{ 2a + (n-1)d \right\} } \over {2}} $$
■