📂レンマ

等差数列の和を求める

数式

最初の項が$a$で、公差が$d$の等差数列$a_{n} = a+(n-1)d$について $$\sum_{k=1}^{n} a_{k}= {{n \left\{ 2a + (n-1)d \right\} } \over {2}}$$

説明

最初に一度見て、この形でまた書くことはないかもしれない級数だけど、証明を忘れてはいけない。証明が簡単で明確でも、一度は必ず手で直接書きながら覚えるようにしよう。

等差数列の和で最もよく使われるのは、自然数$n$までの和だ。この場合、$a=1$で、$d=1$の等差数列になる。

自然数の和

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} {k} = {{n(n+1)} \over {2}} \end{align*}$$

受験生なら、あまりにも頻繁に使うので、$n=10$の時は55、$n=100$の時は5050って覚えているだろう。大学生になっても意外とよく使うので、全部忘れてもこの公式だけは忘れないでおこう。

証明

$$\begin{align*} S:= \sum_{k=1}^{n} a_{k} \end{align*}$$とすると $$S= a + (a+d) + \cdots + (a + (n-2)d) + (a + (n-1)d)$$なのだが、この順序を逆に書くと $$S = \left\{ a + (n-1)d \right\} + \left\{ a + (n-2)d \right\} + \cdots + (a+d) + a$$でもある。両辺を足すと $$2S = \left[ \left\{ 2a + (n-1)d \right\} + \left\{ 2a + (n-1)d \right\} + \cdots +\left\{ 2a + (n-1)d \right\} + \left\{ 2a + (n-1)d \right\} \right]$$なのだが、全て$n$項を足したので $$2S = n \left\{ 2a + (n-1)d \right\}$$両辺を2で割ると、次を得る。 $$\sum_{k=1}^{n} a_{k}= {{n \left\{ 2a + (n-1)d \right\} } \over {2}}$$

■