📂幾何学

楕円の方程式の導出

公式

中心が$(x_{0},y_{0})$であり、長軸が$a$、短軸が$b$の楕円の方程式は以下の通りである。

$$\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1$$

説明

楕円とは、2つの焦点までの距離の和が一定である点の集合である。

導出

上の図のような楕円を考える。楕円の定義に基づき、以下のような方程式を立てることができる。

$$ \begin{align*} \overline{F^{\prime}P} +\overline{PF} =&\ \text{constant} \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=&
\end{align*} $$

この時、点$P$が$A$にある場合、その一定の距離の和は$2a$であることがわかる。したがって、

$$\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$$

左辺の最初の項を右辺に移動させ、両辺を二乗すると、以下のようになる。

$$(x-c)^{2} + y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+(x+c)^{2}+y^{2}$$

今、片方にはルートがある項だけを残して整理すると、以下のようになる。

$$a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=cx+a^{2}$$

再び両辺を二乗すると、以下のようになる。

$$\begin{equation} \begin{align*} && a^{2}({\color{green}x^{2}} + 2cx + {\color{blue}c^{2}})+a^{2}y^{2} =&\ {\color{green}c^{2}x^{2}} + 2a^{2}cx + {\color{blue}a^{4}} \\ \implies&& {\color{green}(a^{2}-c^{2})x^{2}} + a^{2}y^{2}= & {\color{blue}a^{2}(a^{2}-c^{2})} \end{align*} \end{equation}$$

この時、点$P$が$B$の位置にある場合、上記の式に$x=0$と$y=b$を代入すると、以下の式を得る。

$$\begin{equation} \begin{align*} && a^{2}b^{2} =&\ a^{2}(a^{2}-c^{2}) \\ \implies && b^{2}=&\a^{2}-c^{2} \end{align*} \end{equation}$$

$(2)$を再び$(1)$に代入すると、以下の式を得る。

$$\begin{align*} && b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2} =&\ a^{2}b^{2} \\ \implies && \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2} }{b^{2}} =&\ 1 \end{align*}$$

もし楕円の中心が$(x_{0},y_{0})$の場合は、原点にある楕円のすべての点が$x$軸に沿って$x_{0}$だけ、$y$軸に沿って$y_{0}$だけ平行移動するのと同じであるので、

$$\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2} }{b^{2}}=1$$

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