楕円の方程式の導出
📂幾何学楕円の方程式の導出
公式
中心が(x0,y0)であり、長軸がa、短軸がbの楕円の方程式は以下の通りである。
a2(x−x0)2+b2(y−y0)2=1
説明
楕円とは、2つの焦点までの距離の和が一定である点の集合である。
導出

上の図のような楕円を考える。楕円の定義に基づき、以下のような方程式を立てることができる。
F′P+PF(x+c)2+y2+(x−c)2+y2=constant=
この時、点PがAにある場合、その一定の距離の和は2aであることがわかる。したがって、
(x+c)2+y2+(x−c)2+y2=2a
左辺の最初の項を右辺に移動させ、両辺を二乗すると、以下のようになる。
(x−c)2+y2=4a2−4a(x+c)2+y2+(x+c)2+y2
今、片方にはルートがある項だけを残して整理すると、以下のようになる。
a(x+c)2+y2=cx+a2
再び両辺を二乗すると、以下のようになる。
⟹a2(x2+2cx+c2)+a2y2(a2−c2)x2+a2y2==c2x2+2a2cx+a4a2(a2−c2)
この時、点PがBの位置にある場合、上記の式にx=0とy=bを代入すると、以下の式を得る。
⟹a2b2b2=a2(a2−c2)=a2−c2
(2)を再び(1)に代入すると、以下の式を得る。
⟹b2x2+a2y2a2x2+b2y2=a2b2=1
もし楕円の中心が(x0,y0)の場合は、原点にある楕円のすべての点がx軸に沿ってx0だけ、y軸に沿ってy0だけ平行移動するのと同じであるので、
a2(x−x0)2+b2(y−y0)2=1
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