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リーマン(-シュティールス)積分の線形性

정리¹

• この記事はリーマン・スティルチェス積分を基準に書かれています。$\alpha=\alpha (x)=x$とすると、リーマン積分と同じです。

1. $f$が$[a,b]$でリーマン（-スティルチェス）積分可能だとしましょう。すると、定数$c\in \mathbb{R}$に対して$cf$も$[a,b]$で積分可能であり、その値は以下の通りです。

$$ \int_{a}^{b}cf d\alpha = c\int_{a}^{b}f d\alpha $$

2. 二つの関数$f_{1}$、$f_{2}$が$[a,b]$でリーマン（-スティルチェス）積分可能であるとしましょう。すると、$f_{1}+f_{2}$も積分可能であり、その値は以下の通りです。

$$ \int _{a} ^{b}(f_{1}+f_{2})d\alpha = \int _{a} ^{b} f_{1}d\alpha + \int_{a}^{b} f_{2} d\alpha $$

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積分は線形であるということです。

$$ \int _{a} ^{b}(f_{1}+cf_{2})d\alpha = \int _{a} ^{b} f_{1}d\alpha + c\int_{a}^{b} f_{2} d\alpha $$

わざわざ加算と定数倍を別々に書いた理由は、証明を別々にするためです。

補助定理

$[a,b]$でリーマン（-スティルチェス）積分可能な関数$f$と任意の正数$\varepsilon> 0$に対して、以下の式を満たす$[a,b]$の分割$P$が存在します。

$$ \begin{align} U(P,f,\alpha) \lt \int_{a}^{b}f d\alpha +\varepsilon \tag{L1} \\ \int_{a}^{b}f d\alpha -\varepsilon \lt L(P,f,\alpha) \tag{L2} \end{align} $$

$U$、$L$はそれぞれリーマン（-スティルチェス）上積分、下積分です。

証明

$\eqref{L1}$

任意の正数$\varepsilon \gt 0$が与えられたとします。すると、積分可能の必要十分条件により、以下の式を満たす分割$P$が存在します。

$$ U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) \lt \varepsilon $$

この時$L(P,f,\alpha) \le \displaystyle \int_{a}^{b}fd\alpha$なので、次が成立します。

$$ U(P,f,\alpha)-\int_{a}^{b}f d\alpha\le U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) \lt \varepsilon $$

従って、要約すると次のようになります。

$$ U(P,f,\alpha ) \lt \int_{a}^{b}f d\alpha +\varepsilon $$

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$\eqref{L2}$

証明$\eqref{L1}$でと同様に、次を満たす分割$P$が存在します。

$$ U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) \lt \varepsilon $$

$\displaystyle \int_{a}^{b}fd\alpha \le U(P,f,\alpha)$なので、次が成立します。

$$ \int_{a}^{b}f d\alpha-L(P,f,\alpha)\le U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) \lt \varepsilon $$

従って、要約すると次のようになります。

$$ \int_{a}^{b}f d\alpha -\varepsilon \lt L(P,f,\alpha) $$

■

証明

$f_{1}, f_{2}, f$が積分可能の時、$f_{1}+f_{2}, cf$も積分可能であり、その値が実際に$\displaystyle \int f_{1} + \int f_{2}, c\int f$と同じであることを示します。

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1.

• Case 1. $c=0$

  $cf=0$が積分可能であることは自明です。また、次の等式が成立することも自明です。

  $$ \int_{a}^{b}0fd\alpha=0=0\int_{a}^{b}fd\alpha $$

• Case 2. $c>0$

  任意の正数$\varepsilon >0$が与えられたとします。すると、積分可能の必要十分条件によって、次を満たす分割$P=\left\{ a=x_{0} \lt \cdots \lt x_{i} \lt \cdots \lt x_{n}=b\right\}$が存在します。

  $$ \begin{equation} U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha)<\frac{\varepsilon}{c} \end{equation} $$

  そして、次のようにしましょう。

  $$ \begin{align*} M_{i} &= \sup _{[x_{i-1}, x_{i}]} f(x) \\ m_{i} &= \inf _{[x_{i-1}, x_{i}]} f(x) \\ M_{i}^{c} &= \sup _{[x_{i-1}, x_{i}]} cf(x) \\ m_{i}^{c} &= \inf _{[x_{i-1}, x_{i}]} cf(x) \end{align*} $$

  すると$c>0$なので$cM_{i} = M_{i}^{c}$であり、$cm_{i} = m_{i}^{c}$です。すると、リーマン（-スティルチェス）和の定義と$(1)$によって、次が成立します。

  $$ \begin{align} U(P,cf,\alpha)- L(P,cf,\alpha) &= \sum \limits_{i=1}^{n}M_{i}^{c}\Delta \alpha_{i}-\sum \limits_{i=1}^{n}m_{i}^{c}\Delta \alpha_{i} \nonumber\\ &= \sum \limits_{i=1}^{n}cM_{i}\Delta \alpha_{i}-\sum \limits_{i=1}^{n}cm_{i}\Delta \alpha_{i} \nonumber\\ &= c\left( \sum \limits_{i=1}^{n}M_{i}\Delta \alpha_{i}-\sum \limits_{i=1}^{n}m_{i}\Delta \alpha_{i} \right) \nonumber\\ &= c\Big[ U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha)\Big] \nonumber\\ &\lt \varepsilon \end{align} $$

  従って、積分可能の必要十分条件により、$cf$は積分可能です。 積分は上積分より小さいので、次が成立します。

  $$ c \int_{a}^{b}fd \alpha \le cU(P,f,\alpha) = U(P,cf,\alpha) $$

  これは、$(2)$と補助定理によって、次が成立します。

  $$ c\int _{a}^{b}f d\alpha \le U(P,cf,\alpha) lt \int _{a}^{b} cf d\alpha +\varepsilon $$

  この時、$\varepsilon$は任意の正数と仮定したので、次が成立します。

  $$ \begin{equation} c\int_{a}^{b}fd\alpha \le \int_{a}^{b}cfd\alpha \end{equation} $$

  反対方向の不等号を示す過程も似ています。$(1)$と補助定理によって、次が成立します。

  $$ cU(P,f,\alpha) \le c\int_{a}^{b}fd\alpha +\varepsilon $$

  また、次の式が成立します。

  $$ \int_{a}^{b} cfd\alpha \le U(P,cf,\alpha)=cU(P,f,\alpha) $$

  上の二つの式から、下の式を得ます。

  $$ \int_{a}^{b} cfd \alpha \le cU(P,f,\alpha)< c\int_{a}^{b}fd\alpha +\varepsilon $$

  この時、$\varepsilon$は任意の正数なので、次が成立します。

  $$ \begin{equation} \int_{a}^{b} cf d\alpha \le c\int_{a}^{b}fd\alpha \end{equation} $$

  $(3)$と$(4)$によって、次が成立します。

  $$ \int_{a}^{b}cfd\alpha = c\int_{a}^{b}fd\alpha $$

• Case 3. $c=-1$

  証明の過程はCase 2. と似ています。まず、任意の正数$\varepsilon$が与えられたとします。$f$は積分可能なので、積分可能の必要十分条件により、与えられた$\varepsilon$に対して、次を満たす分割$P$が存在します。

  $$ U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) <\varepsilon $$

  今、次のようにしましょう。

  $$ \begin{align*} M_{i} &= \sup _{[x_{i-1},x_{i}]}f \\ m_{i} &= \inf_{[x_{i-1},x_{i}]}f \\ M_{i}^{\ast} &= \sup _{[x_{i-1},x_{i}]}(-f) \\ m_{i}^{\ast} &= \inf_{[x_{i-1},x_{i}]}(-f) \end{align*} $$

  すると$M_{i}=-m_{i}^{\ast}$であり、$m_{i}=-M_{i}^{\ast}$です。従って$M_{i}-m_{i}=M_{i}^{\ast}-m_{i}^{\ast}$です。それゆえ、次が成立します。

  $$ \begin{align*} U(P,-f,\alpha)-L(P,-f,\alpha) &= \sum\limits_{i=1}^{n}M_{i}^{\ast}\Delta \alpha_{i}-\sum\limits_{i=1}^{n}m_{i}^{\ast}\Delta \alpha_{i} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{n}M_{i}\Delta \alpha_{i} - \sum\limits_{i=1}^{n}m_{i}\Delta\alpha_{i} \\ &= U(P,f,\alpha) -L(P,f,\alpha) \\ &\lt \varepsilon \end{align*} $$

  従って、$-f$は積分可能です。

  Case 2. の証明と同様に、補助定理によって、次が成立します。

  $$ U(P,-f,\alpha) \lt \int_{a}^{b}(-f)d\alpha +\varepsilon $$

  また、次の式が成立します。

  $$ -\int_{a}^{b}fd\alpha\le -L(P,f,\alpha)=U(P,-f,\alpha) \lt \int_{a}^{b}(-f)d\alpha + \varepsilon $$

  この時、$\varepsilon$は任意の正数なので、次が成立します。 $$ -\int_{a}^{b}fd\alpha \le \int_{a}^{b}(-f)d\alpha $$

  それから、補助定理によって、次の式が成立します。

  $$ \int_{a}^{b}(-f)d\alpha -\varepsilon \lt L(P,-f,\alpha)=-U(P,f,\alpha)\le-\int_{a}^{b}fd\alpha $$

  $\varepsilon$は任意の正数なので、次が成立します。

  $$ \int_{a}^{b}(-f)d\alpha \le -\int_{a}^{b}fd\alpha $$

  従って、次を得ます。

  $$ \int_{a}^{b}(-f)d\alpha =-\int_{a}^{b}fd\alpha $$

• Case 4. $c \lt 0 \quad \text{and} \quad c\ne -1$

  Case 2. と Case 3. によって成立します。

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2.

$f=f_{1}+f_{2}$としましょう。$P$を$[a,b]$の任意の分割とします。すると、リーマン（-スティルチェス）上積分、下積分の定義によって、次が成立します。

$$ \begin{equation} \begin{aligned} L(P,f_{1},\alpha) + L(P,f_{2},\alpha)& \le L(P,f,\alpha) \\ &\le U(P,f,\alpha) \\ &\le U(P,f_{1},\alpha) +U(P,f_{2},\alpha) \end{aligned} \end{equation} $$

任意の正数$\varepsilon > 0$が与えられたとします。すると、積分可能の必要十分条件によって、次を満たす分割$P_{j}$が存在します。

$$ U(P_{j},f_{j},\alpha)-L(P_{j},f_{j},\alpha)<\varepsilon,\quad (j=1,2) $$

今、$P$を再び$P_{1}$と$P_{2}$の共通細分としましょう。すると、$(5)$によって、次が成立します。

$$ \begin{align*} U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) &\le \left[ U(P,f_{1},\alpha)-L(P,f_{1},\alpha) \right] + \left[ U(P,f_{2},\alpha)-L(P,f_{2},\alpha) \right] \\ &< \varepsilon \end{align*} $$

従って、積分可能の必要十分条件により、$f$は積分可能です。 それから、補助定理によって、下の式が成立します。

$$ U(P,f_{j},\alpha)<\int _{a}^{b}f_{j}d\alpha+\varepsilon,\quad (j=1,2) $$

また、定義によって積分より上積分が大きいため、次が成立します。

$$ \int_{a}^{b}fd\alpha \le U(P,f,\alpha) $$

上の式と$(5)$の三番目の不等式によって、次が成立します。

$$ \begin{align*} \int_{a}^{b}fd\alpha &\le U(P,f,\alpha) \\ &\le U(P,f_{1},\alpha)+U(P,f_{2},\alpha) \\ &< \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha +\int_{a}^{b}f_{2}d\alpha + 2\varepsilon \end{align*} $$

この時、$\varepsilon$は任意の正数なので、次が成立します。

$$ \begin{equation} \int_{a}^{b} fd\alpha \le \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha + \int_{a}^{b} f_{2}d\alpha \label{6} \end{equation} $$

反対方向の不等式が成立することを示せば、証明は完了です。積分可能な関数の定数倍も積分可能であることを上で示したので、$-f_{1}, -f_{2}$も積分可能であることがわかります。従って、これら二つの関数に対して上の過程を繰り返せば、下の式を得ます

$$ \int_{a}^{b}(-f)d\alpha \le \int_{a}^{b}(-f_{1})d\alpha + \int_{a}^{b} (-f_{2})d\alpha $$

また、$\displaystyle \int (-f)d\alpha=-\int fd\alpha$なので、両辺に$-1$を掛けると、次を得ます。

$$ \begin{equation} \int_{a}^{b}fd\alpha \ge \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha + \int_{a}^{b} f_{2}d\alpha \label{7} \end{equation} $$

従って、$(6)$と$(7)$によって、次を得ます。

$$ \int_{a}^{b}fd\alpha = \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha + \int_{a}^{b} f_{2}d\alpha $$

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