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累乗級数の収束 📂解析学

累乗級数の収束

定理1

べキ級数∑n=0∞cn(x−a)n\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}の収束半径をRRとする。すると、

  1. 級数はx∈(a−R,a+R)x \in (a - R, a + R)で絶対収束する。
  2. 級数は任意の閉区間[b,d]⊂(a−R,a+R)[b, d] \subset (a - R, a + R)でも一様収束する。
  3. (R<∞(R \lt \inftyに対して、級数はx∉[a−R,a+R]x \notin [a - R, a + R]で発散する。

説明

1と3の証明はここを参考にしてね。

2を言い換えると次のようになる。

任意の正の数ε>0\varepsilon \gt 0に対して、級数は[a−R+ε,a+R−ε][a - R + \varepsilon, a + R - \varepsilon]で一様収束する。

証明 (2.)

ε>0\varepsilon \gt 0が与えられたとする。∣x−a∣≤R−ε\left| x - a \right| \le R - εに対して

∣cn(x−a)n∣≤∣cn(R−ε)n∣ \left| c_{n} (x - a)^{n} \right| \le \left| c_{n} (R - ε)^{n} \right|

が成り立つ。でも1によって級数∑n=0∞cn(R−ε)n\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (R - ε)^{n}は絶対収束する。Mn=∣cn(R−ε)n∣M_{n} = \left| c_{n} (R - ε)^{n} \right|とするとワイエルシュトラス-MM判定法によって、∑n=0∞cn(x−a)n\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}は[a−R+ε,a+R−ε][a - R + \varepsilon, a + R - \varepsilon]で一様収束する。

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  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p173 ↩︎