📂フーリエ解析

ウェーブレットの定義

定義

$\psi \in L^{2}(\mathbb{R})$としよう。$\psi$が以下の二つの条件を満たす時、関数$\psi$をウェーブレットという。

(a) 整数$j,k \in \mathbb{Z}$に対して、$\psi_{j,k}$を下記のように定義する。

$$\psi_{j,k} (x):=2^{\frac{j}{2}}\psi (2^{j}x-k),\quad x\in \mathbb{R}$$

(b) $\left\{ \psi _{j,k}\right\}_{j,k\in \mathbb{Z}}$が$L^{2}(\mathbb{R})$空間の正規直交基底である。

$\psi_{j,k}$は、ダイレーションDとトランスレーション$T_{k}$により下記のように表現することもできる。

$$\psi_{j,k}=D^{j}T_{k}\psi,\quad j,k\in\mathbb{Z}$$

説明

ウェーブレット理論は、正規直交基底を見つける方法に関する理論であり、データを効果的に圧縮するための理論的根拠を提供する。また、データからノイズを除去し、必要な信号を見つけることを可能にする。したがって、ウェーブレットは、信号処理、画像処理、物理学、化学、地理統計学、海洋学、気象学、医学、財務管理など、非常に幅広い分野で利用されている。ウェーブレット解析に関する研究は、1980年代半ばにフランスで始まった。同様に広く使われているフーリエ解析が18～19世紀から研究されてきたのに比べて、ウェーブレットの研究は比較的最近始まったと言える。[^1]