📂確率分布論

正規分布の平均と分散

式

$X \sim N\left( \mu , \sigma^{2} \right)$ 平面 $$E(X) = \mu \\ \Var (X) = \sigma^{2}$$

導出

戦略：正規分布は、モーメント生成関数が微分しやすいから、直接導くんだ。

正規分布のモーメント生成関数: $$m(t) = \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right) \qquad , t \in \mathbb{R}$$

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$$m ' (t) = \left( \mu + \sigma^{2} t \right) \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right)$$ だから$E(X) = m ' (0) = \mu$だし、 $$m '' (t) = \left( 0 + \sigma^{2} \right) \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right) + \left( \mu + \sigma^{2} t \right)^{2} \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right)$$ だから$E \left( X^{2} \right) = m '' (0) = \sigma^{2} + \mu^{2}$だ。だから、$\Var (X) = \sigma^{2}$だ。

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