正規分布の平均と分散
式
$X \sim N\left( \mu , \sigma^{2} \right)$ 平面 $$ E(X) = \mu \\ \operatorname{Var} (X) = \sigma^{2} $$
導出
戦略：正規分布は、モーメント生成関数が微分しやすいから、直接導くんだ。
正規分布のモーメント生成関数: $$ m(t) = \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right) \qquad , t \in \mathbb{R} $$
$$ m ' (t) = \left( \mu + \sigma^{2} t \right) \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right) $$ だから$E(X) = m ' (0) = \mu$だし、 $$ m '' (t) = \left( 0 + \sigma^{2} \right) \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right) + \left( \mu + \sigma^{2} t \right)^{2} \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right) $$ だから$E \left( X^{2} \right) = m '' (0) = \sigma^{2} + \mu^{2}$だ。だから、$\operatorname{Var} (X) = \sigma^{2}$だ。
■