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エルミート多項式の直交性

定理

エルミート多項式 $\left\{ H_{n} \right\}_{n=0}^{\infty}$は区間 $(-\infty, \infty)$で重み関数 $w(x)=e^{-x^{2}}$により直交している。

$$\braket{ H_{n} | H_{m} }_{e^{-x^{2}}} =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx=\sqrt{\pi}2^{n}n!\delta_{nm}$$

ここで、$\delta_{nm}$はクロネッカーのデルタである。

証明

場合 1: $n=m$

微分作用素を$D = \dfrac{d}{dx}$と表記する。

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{n}(x)dx$$

エルミート多項式

$$H_{n}(x) = (-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}} = (-1)^{n}e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}$$

上の式の前の部分$H_{n}(x)$を解くと、以下のようになる。

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}(-1)^{n}e^{x^{2}}\left[D^{n}e^{-x^{2}} \right]H_{n}(x)dx &= \int_{-\infty}^{\infty} (-1)^{n}\left[D^{n}e^{-x^{2}} \right]H_{n}(x)dx \end{align*}$$

式を部分的に解くと、以下の式を得る。

$$\begin{align*} &\int_{-\infty}^{\infty} (-1)^{n}\left[D^{n}e^{-x^{2}} \right]H_{n}(x)dx \\ &=\left[ (-1)^{n}\left(D^{n-1}e^{-x^{2}}\right)H_{n}(x) \right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}(-1)^{n}\left[ D^{n-1}e^{-x^{2}}\right]H^{\prime}_{n}(x)dx \tag{1} \end{align*}$$

ここで、最初の項は$\lim \limits_{x\rightarrow \pm\infty}D^{n-1}e^{-x^{2}}=0$であるため、$0$である。この極限が$0$に収束する理由は、任意の$n$に対して、

$$D^{n}e^{-x^{2}}=p(x)e^{-x^{2}}$$ と表されるためである。ここで、$p(x)$は任意の多項式である。$x \rightarrow \pm \infty$の時、$e^{-x^{2}}$が$0$に行く速度の方が多項式が発散する速度よりもずっと速いため、極限は$0$に収束する。

エルミート多項式の再帰関係 $$H_{n}^{\prime}(x) =2nH_{n-1}(x)$$

エルミート多項式の再帰関係により、$(1)$は次のようになる。

$$-2n\int_{-\infty}^{\infty}(-1)^{n}\left[ D^{n-1}e^{-x^{2}} \right]H_{n-1}(x)dx$$

さっきと同じ論理で部分積分をもう一度行うと、次を得る。

$$(-1)^{2}2^{2}n(n-1)\int_{-\infty}^{\infty}(-1)^{n}\left[ D^{n-2}e^{-x^{2}} \right]H_{n-2}(x)dx$$

したがって、部分積分を$n$回行うと、以下の式を得る。

$$(-1)^{n}2^{n}n!\int_{-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{-x^{2}}H_{0}(x)dx$$

$H_{0}(x)=1$であるため、以下のように整理される。

$$2^{n}n!\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$$

上記の積分はガウス積分で、その値は$\sqrt{\pi}$である。したがって、以下を得る。

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{n}(x)dx=\sqrt{\pi}2^{n}n!$$

場合 2: $n\ne m$

一般性を失わずに、$n \gt m$とする。

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx$$

ここで、$H_{n}(x)$だけを解くと、次のようになる。

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}(-1)^{n}e^{x^{2}}\left[D^{n}e^{-x^{2}}\right]H_{m}(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}(-1)^{n}\left[D^{n}e^{-x^{2}}\right]H_{m}(x)dx$$

$n=m$の場合の証明と同じ方法で、$m$回の部分積分を行うと、以下の式を得る。

$$(-1)^{n+m}2^{m}m!\int_{-\infty}^{\infty}\left[ D^{n-m}e^{-x^{2}} \right]\cdot 1 dx$$

もう一度部分積分すると、次のようになる。

$$\begin{align*} &(-1)^{n+m}2^{m}m!\int_{-\infty}^{\infty}\left[ D^{n-m}e^{-x^{2}} \right]\cdot 1 dx \\ &= (-1)^{n+m}2^{m}m!\left(\left[D^{n-m-1}e^{-x^{2}} \right]_{-\infty}^{\infty}+2(m+1)\int_{-\infty}^{\infty}\left[ D^{n-m-1}e^{-x^{2}}\right]\cdot 0 dx \right) \end{align*}$$

最初の項は、上の証明で説明したように、$0$であり、二番目の項も$0$である。したがって、以下を得る。

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx=0, \quad n \ne m$$

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