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エルミート多項式の再帰関係

定理

エルミート多項式は次の再帰関係を満たす。

$$\begin{align} H_{n}^{\prime}(x) &= 2nH_{n-1}(x) \\ H_{n+1}(x) &= 2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x) \\ &= 2xH_{n}(x)-H_{n}^{\prime}(x) \nonumber \end{align}$$

証明

$(1)$

生成関数を用いた解法

エルミート多項式の生成関数

$$\Phi (x,t) = e^{2xt-t^{2}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty} H_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!}$$

エルミート多項式の生成関数を微分すると、次のようになる。

$$2te^{2xt-t^{2}} = \sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}^{\prime}(x)\frac{t^{n}}{n!}$$

すると、左辺は生成関数の定義により、

$$2t\sum \limits _{n=0}^{\infty} H_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!}=2te^{2xt-t^{2}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}^{\prime}(x)\frac{t^{n}}{n!}$$

整理すると、次を得る。

$$\begin{align*} \sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}^{\prime}(x)\frac{t^{n}}{n!} &= \sum \limits _{n=0}^{\infty} 2tH_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!} \\ &= \sum \limits _{n=0}^{\infty}2(n+1)H_{n}(x)\frac{t^{n+1}}{(n+1)!} \end{align*}$$

両辺の$\dfrac{t^{n}}{n!}$項の係数を比較すれば、次のようになる。

$$H_{n}^{\prime}(x)=2nH_{n-1}(x)$$

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微分演算子を用いた解法

エルミート多項式

$$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }e^{-x^{2}}$$

微分演算子を$D = \dfrac{d }{dx}$と表記しよう。エルミート多項式を一度微分すると、

$$\begin{align*} DH_{n}(x) &= D\left[ (-1)^{n}e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}} \right] \\ &= (-1)^{n}2x e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}+(-1)^{n}e^{x^{2}}D^{n+1}e^{-x^{2}} \\ &= (-1)^{n}2x e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}+(-1)^{n}e^{x^{2}}D^{n}\left[ (-2x)e^{-x^{2}}\right] \end{align*}$$

二番目の項にライプニッツのルールを適用すると、 $$\begin{align*} DH_{n}(x) &= (-1)^{n}2x e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}+(-1)^{n}e^{x^{2}}\sum \limits _{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!k!}D^{k}(-2x)D^{n-k}e^{-x^{2}} \\ &= (-1)^{n}2x e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}+(-1)^{n}e^{x^{2}}\sum \limits _{k=0}^{1}\frac{n!}{(n-k)!k!}D^{k}(-2x)D^{n-k}e^{-x^{2}} \\ &= (-1)^{n}2x e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}+(-1)^{n}e^{x^{2}}\left[ -2xD^{n}e^{-x^{2}}-2nD^{n-1}e^{-x^{2}} \right] \\ &= 2n(-1)^{n+1}e^{x^{2}}D^{n-1}e^{-x^{2}} \\ &= 2n(-1)^{n-1}e^{x^{2}}D^{n-1}e^{-x^{2}} \\ &=2n H_{n}(x) \end{align*}$$ 二番目の等号は$k\ge 2$が$D^{k}(-2x)=0$の時に成立する。

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$(2)$

$(1)$に対する証明と同じ方法で証明する。生成関数を$t$に対して微分すると、次を得る。

$$(2x-2t)\sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!}=(2x-2t)e^{2xt-t^{2}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}(x)\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$$

整理すると、下のようになる。

$$\sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}(x)\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}=\sum \limits _{n=0}^{\infty}\left[2xH_{n}(x)-2tH_{n}(x)\right]\frac{t^{n}}{n!}$$

両辺の$\dfrac{t^{n}}{n!}$項の係数を比較すれば、次を得る。

$$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2tH_{n}(x)$$

また、$(1)$により、次が成り立つ。

$$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}^{\prime}(x)$$

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