📂関数

エアリー機能

定義

以下の関数をエアリー関数^{Airy function}と呼ぶ。

$$\begin{align*} \operatorname{Ai}(x) &= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{x}{3}}K_{1/3}\left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \\ \operatorname{Bi}(x) &= \sqrt{\frac{x}{3}}\left[ I_{-1/3}\left( \frac{2}{3}x^{3/2} \right) + I_{1/3} \left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \right] \end{align*}$$

この時、$I_{\nu}$、$K_{\nu}$は変形ベッセル関数である。

説明

エアリー関数は、エアリー微分方程式の解をベッセル関数で表したものである。

積分形

エアリー関数は、次のような積分形を持つ。

$$\begin{align*} \operatorname{Ai}(x) &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos (t^{3}/3 + xt) dt \\ \operatorname{Bi}(x) &= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} \left[ \exp \left( -\frac{1}{3}t^{3}+xt \right)+\sin\left( \frac{1}{3}t^{3}+xt \right) \right]dt \end{align*}$$