logo

変形ベッセル方程式と変形ベッセル関数 📂関数

変形ベッセル方程式と変形ベッセル関数

ビルドアップ

以下の微分方程式は、変形ベッセル方程式と呼ばれる。

x2y+xy(x2ν2)y=0 x^2 y^{\prime \prime} + xy^{\prime}-(x^2-\nu^2)y=0

ベッセル方程式yy項の符号が++ \rightarrow -に変わった形式だ。この微分方程式の解は、ベッセル方程式である微分方程式の公式によって以下のようになる。

y=Zν(ix)=AJν(ix)+BNν(ix) y=Z_{\nu}(ix)=AJ_{\nu}(ix)+BN_{\nu}(ix)

一般的に使われる二つの解の形は、変形ベッセル関数と呼ばれており、特にIνI_{\nu}第一種変形ベッセル関数KνK_{\nu}第二種変形ベッセル関数と呼ぶ。

定義

第一種変形ベッセル関数IνI_{\nu}と第二種変形ベッセル関数KνK_{\nu}はそれぞれ次のように定義される。

Iν(x)=iνJν(ix)Kν(x)=π2iν+1[Jν(ix)+iNν(ix)]=π2iν+1Hp(1)(ix)=π2Iν(x)Iν(x)sin(νπ) \begin{align*} I_{\nu}(x)&=i^{-\nu}J_{\nu}(ix) \\ \\ K_{\nu}(x) &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}\left[ J_{\nu}(ix)+iN_{\nu}(ix) \right] \\ &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}H_{p}^{(1)}(ix) \\ &=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin (\nu\pi )} \end{align*}

ここで、JνJ_{\nu} Hν(1)(x)H_{\nu}^{(1)}(x)ハンケル関数である。

説明

iiが前に掛けられる理由は、実数xxに対してIν(x)I_{\nu}(x)Kν(x)K_{\nu}(x)の値が実数になるようにするためである。この状況は、y+y=0y^{\prime \prime}+y=0の解がcosx\cos xsinx\sin xであり、yy=0y^{\prime \prime}-y=0の解がcoshx=cos(ix)\cosh x=\cos (ix)sinh(x)=sin(ix)\sinh (x)=\sin (ix)であるものと似ている。方程式のこのような特性のために、IνI_{\nu}KνK_{\nu}双曲線ベッセル関数とも呼ばれる。

積分形

2010年にOlverらによって、次のような積分形が知られている1

Iν(z)=(z2)νπΓ(ν+12)11ezt(1t2)ν12dt I_{\nu} (z) = {{ \left( {{ z } \over { 2 }} \right)^{\nu} } \over { \sqrt{\pi} \Gamma \left( \nu + {{ 1 } \over { 2 }} \right) }} \int_{-1}^{1} e^{zt} \left( 1 - t^{2} \right)^{\nu - {{ 1 } \over { 2 }}} dt

このような変形ベッセル関数は、数理物理学だけでなく、方向統計学などでも非常に重要であり、空間統計分析でセミバリオグラムの無難な選択肢の一つであるマテーン関数にも登場する。


  1. Sungkyu Jung. “Geodesic projection of the von Mises–Fisher distribution for projection pursuit of directional data.” Electron. J. Statist. 15 (1) 984 - 1033, 2021. https://doi.org/10.1214/21-EJS1807 ↩︎