変形ベッセル方程式と変形ベッセル関数
📂関数 変形ベッセル方程式と変形ベッセル関数 ビルドアップ 以下の微分方程式は、変形ベッセル方程式 と呼ばれる。
x 2 y ′ ′ + x y ′ − ( x 2 − ν 2 ) y = 0
x^2 y^{\prime \prime} + xy^{\prime}-(x^2-\nu^2)y=0
x 2 y ′′ + x y ′ − ( x 2 − ν 2 ) y = 0
ベッセル方程式 でy y y 項の符号が+ → − + \rightarrow - + → − に変わった形式だ。この微分方程式の解は、ベッセル方程式である微分方程式の公式 によって以下のようになる。
y = Z ν ( i x ) = A J ν ( i x ) + B N ν ( i x )
y=Z_{\nu}(ix)=AJ_{\nu}(ix)+BN_{\nu}(ix)
y = Z ν ( i x ) = A J ν ( i x ) + B N ν ( i x )
一般的に使われる二つの解の形は、変形ベッセル関数 と呼ばれており、特にI ν I_{\nu} I ν を第一種変形ベッセル関数 、K ν K_{\nu} K ν を第二種変形ベッセル関数 と呼ぶ。
定義 第一種変形ベッセル関数I ν I_{\nu} I ν と第二種変形ベッセル関数K ν K_{\nu} K ν はそれぞれ次のように定義される。
I ν ( x ) = i − ν J ν ( i x ) K ν ( x ) = π 2 i ν + 1 [ J ν ( i x ) + i N ν ( i x ) ] = π 2 i ν + 1 H p ( 1 ) ( i x ) = π 2 I − ν ( x ) − I ν ( x ) sin ( ν π )
\begin{align*}
I_{\nu}(x)&=i^{-\nu}J_{\nu}(ix) \\ \\
K_{\nu}(x) &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}\left[ J_{\nu}(ix)+iN_{\nu}(ix) \right] \\
&= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}H_{p}^{(1)}(ix) \\
&=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin (\nu\pi )}
\end{align*}
I ν ( x ) K ν ( x ) = i − ν J ν ( i x ) = 2 π i ν + 1 [ J ν ( i x ) + i N ν ( i x ) ] = 2 π i ν + 1 H p ( 1 ) ( i x ) = 2 π sin ( ν π ) I − ν ( x ) − I ν ( x )
ここで、J ν J_{\nu} J ν H ν ( 1 ) ( x ) H_{\nu}^{(1)}(x) H ν ( 1 ) ( x ) はハンケル関数 である。
説明 i i i が前に掛けられる理由は、実数x x x に対してI ν ( x ) I_{\nu}(x) I ν ( x ) 、K ν ( x ) K_{\nu}(x) K ν ( x ) の値が実数になるようにするためである。この状況は、y ′ ′ + y = 0 y^{\prime \prime}+y=0 y ′′ + y = 0 の解がcos x \cos x cos x 、sin x \sin x sin x であり、y ′ ′ − y = 0 y^{\prime \prime}-y=0 y ′′ − y = 0 の解がcosh x = cos ( i x ) \cosh x=\cos (ix) cosh x = cos ( i x ) 、sinh ( x ) = sin ( i x ) \sinh (x)=\sin (ix) sinh ( x ) = sin ( i x ) であるものと似ている。方程式のこのような特性のために、I ν I_{\nu} I ν とK ν K_{\nu} K ν は双曲線ベッセル関数 とも呼ばれる。
積分形 2010年にOlverらによって、次のような積分形が知られている 。
I ν ( z ) = ( z 2 ) ν π Γ ( ν + 1 2 ) ∫ − 1 1 e z t ( 1 − t 2 ) ν − 1 2 d t
I_{\nu} (z) = {{ \left( {{ z } \over { 2 }} \right)^{\nu} } \over { \sqrt{\pi} \Gamma \left( \nu + {{ 1 } \over { 2 }} \right) }} \int_{-1}^{1} e^{zt} \left( 1 - t^{2} \right)^{\nu - {{ 1 } \over { 2 }}} dt
I ν ( z ) = π Γ ( ν + 2 1 ) ( 2 z ) ν ∫ − 1 1 e z t ( 1 − t 2 ) ν − 2 1 d t
このような変形ベッセル関数は、数理物理学だけでなく、方向統計学 などでも非常に重要であり、空間統計分析 でセミバリオグラムの無難な選択肢の一つであるマテーン関数にも登場する。