ルジャンドル多項式の生成関数
定理
$$ \Phi (x,t) = \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}} = \sum \limits_{l=0}^{\infty}P_{l}(x)t^{l},\quad |t|<1 $$
説明
簡単に言えば、ルジャンドル多項式の生成関数はルジャンドル多項式$P_{l}(x)$を係数として持つ多項式だよ。
補助定理
関数$\Phi (x,t) = \dfrac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}}$は下の微分方程式の解だ。
$$ \begin{equation} (1-x^{2})\frac{ \partial ^{2} \Phi}{ \partial x^{2} }-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x }+t\frac{ \partial ^{2}}{ \partial t^{2} }(t\Phi) = 0 \end{equation} $$
証明
単に微分して足すだけで簡単に示せるので、詳細な計算過程と説明は省略する。
$$ \frac{ \partial \Phi}{ \partial x }=t(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3 }{2}} $$
$$ \frac{ \partial ^{2}\Phi}{ \partial x^{2} }=3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5 }{2}} $$
$$ \frac{ \partial }{ \partial t }(t\Phi)=(1-2xt+t^{2})^{-\frac{1}{2}}-(t^{2}-xt)(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3 }{2}} $$
$$ \frac{ \partial ^{2}}{ \partial t^{2} }(t\Phi)=-(3t-2x)(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3(t^{3}-2xt^{2}+x^{2}t)(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5}{2}} $$
だから、
$$ \begin{align*} &(1-x^{2})\frac{ \partial ^{2} \Phi}{ \partial x^{2} }-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x }+t\frac{ \partial ^{2}}{ \partial t^{2} }(t\Phi) \\ &= 3(t^{2}-x^{2}t^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5 }{2}}-2xt(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3 }{2}} \\ & -(3t^{2}-2xt^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3(t^{4}-2xt^{3}+x^{2}t^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5}{2}} \\ &= -3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3t^{2}(1-2xt+t^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5}{2}} \\ &= -3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}} \\ &= 0 \end{align*} $$
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証明
$\Phi(x, t) = \dfrac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}}$がルジャンドル多項式の生成関数であることを示すためには、生成関数の定義により$\Phi(x, t)$を$t$に関して多項式として表した時に係数がルジャンドル多項式であることを確認すればいい。まず$y \equiv 2xt - t^{2}$で置換すると、
$$ \begin{align*} \Phi(y) &= \dfrac{1}{\sqrt{1 - y}} \\ &= (1-y)^{-\frac{1}{2}}. \end{align*} $$
$$ (1 - x)^{-\alpha} = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha+1)}{2!} x^{2} + \dfrac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}{3!} x^{3} + \cdots $$
すると、負の二項級数の公式により以下の通りだ。
$$ \begin{align*} \Phi(y) &= (1-y)^{-\frac{1}{2}} \\ &= 1 + \frac{1}{2}y + \frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}}{2!}y^{2} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2}(2xt-t^{2}) + \frac{3}{8}(2xt-t^{2})^{2} + \cdots \\ &= 1 + xt -\frac{1}{2}t^{2} + \frac{3}{8}(4x^{2}t^{2} - 4xt^{3} + t^{4}) + \cdots \\ &= 1 + xt + \left(\frac{3}{2}x^{2} - \frac{1}{2}\right)t^{2} + \cdots \\ &= f_{0}(x) + f_{1}(x)t + f_{2}(x)t^{2} + \cdots \\ &= \sum\limits_{l=0}^{\infty} f_{l}(x) t^{l} \end{align*} $$
次に、上の級数を微分方程式$(1)$に代入してみると以下を得る。
$$ \begin{align*} &\quad \ 0 \\ &= (1-x^{2})\frac{ \partial ^{2} \left( \sum\limits_{l=0}^{\infty} f_{l}(x) t^{l}\right)}{ \partial x^{2} }-2x\frac{ \partial \left( \sum\limits_{l=0}^{\infty} f_{l}(x) t^{l}\right)}{ \partial x } + t\frac{ \partial ^{2}}{ \partial t^{2} }\left( t \sum\limits_{l=0}^{\infty} f_{l}(x) t^{l}\right) \\ &= (1-x^{2}) \sum\limits_{l=0}^{\infty} f^{\prime \prime}_{l}(x) t^{l} - 2x \sum\limits_{l=0}^{\infty} f^{\prime}_{l}(x) t^{l} + \sum\limits_{l=0}^{\infty}l(l+1) f_{l}(x) t^{l} \\ &= \sum\limits_{l=0}^{\infty} \left[ (1 - x^{2}) f_{l}^{\prime \prime}(x) - 2x f_{l}^{\prime}(x) + l(l+1)f_{l}(x) \right] t^{l} \end{align*} $$
この式は$t$における恒等式なので、各$t^{l}$の係数は全て$0$でなければならない。従って、次を得る。
$$ (1 - x^{2}) f_{l}^{\prime \prime}(x) - 2x f_{l}^{\prime}(x) + l(l+1)f_{l}(x) = 0 $$
これはルジャンドル微分方程式で、解はルジャンドル多項式だ。だから$f_{l}(x) = P_{l}(x)$は$\Phi$はルジャンドル多項式の生成関数だ。
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