📂グラフ理論

エルデシュ・レーニグラフ

定義

可換環 $R$ が与えられたとしよう。$R$ のゼロ因子集合を $Z(R)$ とする時、以下で定義されたグラフ $\Gamma (R)$ を$R$ のゼロ因子グラフ^{zero Divisor graph}と呼ぶ。 $$V \left( \Gamma (R) \right) = Z(R) \\ E( \Gamma (R)) = \left\{ ab : ab=0 \right\}$$

説明

知られているように、ゼロ因子同士を掛け合わせても必ずしも $0$ にはならない。例えば、$2, 4 \in Z \left( \mathbb{Z}_{10} \right)$ は $\mathbb{Z}_{10}$ のゼロ因子だが、その積は $8 \ne 0$ になる。したがって、与えられた可換環 $R$ に依存するゼロ因子グラフは自明な形を取らず、それに関する性質や分類が研究対象となる。たとえば $\mathbb{Z}_{12}$ を考えると、そのゼロ因子グラフ $\Gamma \left( \mathbb{Z}_{12} \right)$ は以下のように描かれる：

歴史

ゼロ因子グラフの歴史はそれほど長くない。1988年にベック^beckによって初めて定義されたゼロ因子グラフは、その後デビッド・アンダーソン^{david F. Anderson}とフィリップ・リビングストン^{philip S. Livingston}によって研究が進められた。アンダーソンはリビングストンの恩師であり、彼らの論文で発表されたアンダーソン-リビングストン定理¹はゼロ因子グラフの研究において非常に大きな成果として残った。

整数環のゼロ因子グラフが最も直感的な例であるため、それを拡張した環に対する研究も行われている。2008年、ヨルダン大学のイマド・アブ・オスバ^{emad Abu Osba2}によってガウス環のゼロ因子グラフ $\Gamma \left( \mathbb{Z}[i] \right)$ の分類が、2014年にはオサマ・アルカム^{osama Alkam}によって³アイゼンシュタイン環のゼロ因子グラフ $\Gamma ( \mathbb{Z} [ \omega] )$ の分類が知られている。