オイラーの微分方程式の解法
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定義
以下の形の微分方程式をオイラー微分方程式またはオイラー・コーシー方程式と言う。
a2x2dx2d2y+a1xdxdy+a0y=0
説明
右辺が0でない非同次方程式の場合は、 それをx=ezに置き換えて解けばいい。
解法
計算の便宜のために、(1)の両辺をa2で割り、残りの二項の係数をそれぞれa1、a0としよう。すると
x2dx2d2y+a1xdxdy+a0y=0
微分方程式をよく見ると、2回微分して2次項を掛け、1回微分して1次項を掛け、元の関数を加えたものが0になる。それゆえに、解を次のように置くことができる。
y=xr
微分方程式に代入すると
r(r−1)xr+a1rxr+a0xr=0[r(r−1)+a1r+a0]xr=0[r2−(a1−1)r+a0]xr=0
xr=0なので、r2−(a1−1)r+a0=0だ。これは単純な2次方程式で、その解は
r=2−(a1−1)±(a1−1)2−4a0
二つの解をそれぞれr1、r2としよう。二つの根の状態によって、微分方程式の解は変わってくる。
Case 1. r1とr2が異なる実数の場合
方程式の二つの解はy1=xr1とy2=xr2だ。ロンスキアンを確認すると、
W[y1,y2]=(r2−r1)xr1+r2−1
r1=r2なので、x>0の時、必ずW[x1,r2]=0になることがわかる。したがって、二つの解は基本解集合を成すので、一般解は
y=c1xr1+c2xr2,x>0
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Case 2. r1とr2が同じ実数の場合
この場合には、y1、y2であるため、セカンドソリューションを見つけなければならない。最初の解をy1=xr1とし、微分演算子Lは以下のようだとしよう。
L[y]=x2y′′+xy′+y
すると
L[xr]=[r2−(a1−1)r+a0]xr=0
この時、rに対する2次方程式が重根を持つ場合であるため、以下のように完全平方形に表すことができる。
L[xr]=(r−r1)2xr=0
0を微分すると0になるので、左辺をrで微分すると
∂r∂L[xr]=0
それと、xとrの微分の順序を変えても問題ないので、
∂r∂L[xr]=L[∂r∂xr]=L[xrlnx]=0
したがって、y2=xr1lnxが二番目の解だ。ロンスキアンを計算するとW[xr1,x1lnx]=x2r1−1=0なので、二つの解は基本解集合を成す。したがって、一般解は
y=c1xr1+c2xr1lnx,x>0
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Case 3. r1とr2が異なる複素数の場合
r1=λ+iμ、r2=λ−iμとしよう。すると二つの解は
y1=xλ+iμ,y2=xλ−iμ
したがって、基本解は
y=c1xλ+iμ+c2xλ−iμ
しかし、複素関数の場合は、三角関数で表すのが一般的だ。オイラーの公式によって、以下の式が成り立つ。
xλ+iμ=xλxiμ=xλelnxiμ== xλeiμlnx xλ[cos(μlnx)+isin(μlnx)],x>0
したがって、複素数定数c1、c2に対する一般解は、次のように表される。
y=c1xλcos(μlnx)+c2xλsin(μlnx),x>0
cosとsinは独立しているので、ロンスキアンは計算しなくても、必ず0にならないことがわかる。計算してみると、
W[xλcos(μlnx),xλsin(μlnx)]=μx2λ−1=0
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