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オイラーの微分方程式の解法 📂微分方程式

オイラーの微分方程式の解法

定義

以下の形の微分方程式をオイラー微分方程式またはオイラー・コーシー方程式と言う。

a2x2d2ydx2+a1xdydx+a0y=0 \begin{equation} a_{2}x^{2}\frac{ d ^{2 }y}{ dx^{2} }+a_{1}x\frac{ d y}{ d x }+a_{0}y=0 \end{equation}

説明

右辺が00でない非同次方程式の場合は、 それをx=ezx=e^{z}に置き換えて解けばいい。

解法

計算の便宜のために、(1)(1)の両辺をa2a_{2}で割り、残りの二項の係数をそれぞれa1a_{1}、a0a_{0}としよう。すると

x2d2ydx2+a1xdydx+a0y=0 x^{2}\frac{ d ^{2 }y}{ dx^{2} } + a_{1}x\frac{ d y}{ d x } + a_{0}y = 0

微分方程式をよく見ると、2回微分して2次項を掛け、1回微分して1次項を掛け、元の関数を加えたものが00になる。それゆえに、解を次のように置くことができる。

y=xr y=x^{r}

微分方程式に代入すると

r(r−1)xr+a1rxr+a0xr=0[r(r−1)+a1r+a0]xr=0[r2−(a1−1)r+a0]xr=0 \begin{align*} r(r-1)x^{r}+a_{1}rx^{r}+a_{0}x^{r}=0 \\ [r(r-1)+a_{1}r+a_{0}]x^{r}=0 \\ [r^{2}-(a_{1}-1)r+a_{0}]x^{r}=0 \end{align*}

xr≠0x^{r}\ne0なので、r2−(a1−1)r+a0=0r^{2}-(a_{1}-1)r+a_{0}=0だ。これは単純な2次方程式で、その解は

r=−(a1−1)±(a1−1)2−4a02 r=\frac{-(a_{1}-1)\pm \sqrt{(a_{1}-1)^{2}-4a_{0}}}{2}

二つの解をそれぞれr1r_{1}、r2r_{2}としよう。二つの根の状態によって、微分方程式の解は変わってくる。

  • Case 1. r1r_{1}とr2r_{2}が異なる実数の場合

    方程式の二つの解はy1=xr1y_{1}=x^{r_{1}}とy2=xr2y_{2}=x^{r_{2}}だ。ロンスキアンを確認すると、

    W[y1,y2]=(r2−r1)xr1+r2−1 W[y_{1},y_{2}]=(r_{2}-r_{1})x^{r_{1}+r_{2}-1}

    r1≠r2r_{1}\ne r_{2}なので、x>0x>0の時、必ずW[x1,r2]≠0W[x^{1},r^{2}]\ne 0になることがわかる。したがって、二つの解は基本解集合を成すので、一般解は

    y=c1xr1+c2xr2,x>0 y=c_{1}x^{r_{1}}+c_{2}x^{r_{2}},\quad x>0

■

  • Case 2. r1r_{1}とr2r_{2}が同じ実数の場合

  • この場合には、y1y_{1}、y2y_{2}であるため、セカンドソリューションを見つけなければならない。最初の解をy1=xr1y_{1}=x^{r_{1}}とし、微分演算子LLは以下のようだとしよう。

    L[y]=x2y′′+xy′+y L[y]=x^{2}y^{\prime \prime}+xy^{\prime}+y

    すると

    L[xr]=[r2−(a1−1)r+a0]xr=0 L[x^{r}]=[r^{2}-(a_{1}-1)r+a_{0}]x^{r}=0

    この時、rrに対する2次方程式が重根を持つ場合であるため、以下のように完全平方形に表すことができる。

    L[xr]=(r−r1)2xr=0 L[x^{r}]=(r-r_{1})^{2}x^{r}=0

    00を微分すると00になるので、左辺をrrで微分すると

    ∂∂rL[xr]=0 \frac{ \partial }{ \partial r}L[x^{r}]=0

    それと、xxとrrの微分の順序を変えても問題ないので、

    ∂∂rL[xr]=L[∂xr∂r]=L[xrln⁡x]=0 \frac{ \partial }{ \partial r }L[x^{r}]=L\left[ \frac{ \partial x^{r}}{ \partial r }\right]=L[x^{r}\ln x]=0

    したがって、y2=xr1ln⁡xy_{2}=x^{r_{1}}\ln xが二番目の解だ。ロンスキアンを計算するとW[xr1,x1ln⁡x]=x2r1−1≠0W[x^{r_{1}},x^{1}\ln x]=x^{2r_{1}-1}\ne 0なので、二つの解は基本解集合を成す。したがって、一般解は

    y=c1xr1+c2xr1ln⁡x,x>0 y=c_{1}x^{r_{1}}+c_{2}x^{r_{1}}\ln x,\quad x>0

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  • Case 3. r1r_{1}とr2r_{2}が異なる複素数の場合

    r1=λ+iμr_{1}=\lambda+i\mu、r2=λ−iμr_{2}=\lambda -i\muとしよう。すると二つの解は

    y1=xλ+iμ,y2=xλ−iμ y_{1}=x^{\lambda+i\mu},\quad y_{2}=x^{\lambda-i\mu}

    したがって、基本解は

    y=c1xλ+iμ+c2xλ−iμ y=c_{1}x^{\lambda+i\mu}+c_{2}x^{\lambda-i\mu}

    しかし、複素関数の場合は、三角関数で表すのが一般的だ。オイラーの公式によって、以下の式が成り立つ。

    xλ+iμ=xλxiμ=xλeln⁡xiμ= xλeiμln⁡x= xλ[cos⁡(μln⁡x)+isin⁡(μln⁡x)],x>0 \begin{align*} x^{\lambda +i \mu}=x^{\lambda}x^{i\mu}=x^{\lambda} e^{\ln x^{i\mu}} =&\ x^{\lambda}e^{i\mu \ln x} \\ =&\ x^{\lambda}[\cos(\mu \ln x)+i\sin (\mu \ln x) ] ,\quad x>0 \end{align*}

    したがって、複素数定数c1c_{1}、c2c_{2}に対する一般解は、次のように表される。

    y=c1xλcos⁡(μln⁡x)+c2xλsin⁡(μln⁡x),x>0 y=c_{1}x^{\lambda}\cos (\mu \ln x)+c_{2}x^{\lambda}\sin(\mu \ln x),\quad x>0

    cos⁡\cosとsin⁡\sinは独立しているので、ロンスキアンは計算しなくても、必ず00にならないことがわかる。計算してみると、

    W[xλcos⁡(μln⁡x),xλsin⁡(μln⁡x)]=μx2λ−1≠0 W[x^{\lambda}\cos (\mu \ln x),x^{\lambda}\sin(\mu \ln x)]=\mu x^{2\lambda-1}\ne 0

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