📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間のフレーム

定義¹

ヒルベルト空間 $H$のシーケンス $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$について、以下を満たす$A,B > 0$が存在する場合、$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$をフレーム^frameと呼び、特に$A = B$の時、このフレームをタイト^tightと言う。

$$ A \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \le \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \qquad , \forall \mathbf{v} \in H $$

説明

フレームは、ベッセルシーケンスと違って、$A$が存在して$\mathbf{v}$を上下から縛ります。特に、$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$が$H$の正規直交基底なら、$A=B=1$でタイトフレームであることと同値です。

正規直交基底の同値条件: $H$をヒルベルト空間とする。$H$の正規直交システム $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$について、以下は全て同値です。

• (i): $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$は$H$の正規直交基底です。
• (iv): すべての$\mathbf{x}\in H$に対して $$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2} $$