物理学におけるデル演算子
説明
物理学では、演算子とは、関数を別の関数に対応させる関数を言う。その中でもデル演算子del operatorは、ある関数が与えられたとき、その関数の導関数を関数値として持つ関数である。演算子という言葉が馴染みがない場合は、対象を計算する規則として理解すればいい。例えば、$\dfrac{d}{dx}$という関数に$f$を入れると、$f^{\prime}$という関数値が出る。
$$ \dfrac{d }{dx} \left( f \right) = f^{\prime} $$
デル演算子は通常、以下のように紹介される。
$$ \nabla = \frac{ \partial }{ \partial x }\hat{\mathbf{x}}+\frac{ \partial }{ \partial y }\hat{\mathbf{y}}+\frac{ \partial }{ \partial z }\hat{\mathbf{z}} $$
上の式で見られるように、まるでベクトルのように扱われるため、$\vec{\nabla}$のように表記されることもある。これを利用して、スカラー関数$f$とベクター関数$\mathbf{A}=A_{x}\hat{\mathbf{x}}+A_{y}\hat{\mathbf{y}}+A_{z}\hat{\mathbf{z}}$に対する3つの演算を学ぶ。下の3つの演算は、上から順に$f$のグラディエント、$\mathbf{A}$のダイバージェンス、$\mathbf{A}$のカールと呼ばれる。
$$ \begin{align*} \nabla f&=\frac{ \partial f }{ \partial x }\hat{\mathbf{x}}+\frac{ \partial f }{ \partial y }\hat{\mathbf{y}}+\frac{ \partial f }{ \partial z }\hat{\mathbf{z}} \\ \nabla \cdot \mathbf{A}&= \frac{ \partial A_{x} }{ \partial x }+\frac{ \partial A_{y} }{ \partial y }+\frac{ \partial A_{z} }{ \partial z } \\ \nabla\times \mathbf{A}&= \left( \frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z} \right)\hat{\mathbf{x}} + \left( \frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{ \partial A_{z}}{\partial x} \right)\hat{\mathbf{y}} + \left( \frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y} \right)\hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$
見ればわかるが、$\nabla$をベクトルのように理解すれば、上の計算を自然と受け入れることができる。**しかし、このように理解するのは間違っている。**複雑な式が現れた場合、多くの部分で誤った計算をしてしまう。特にデル演算子が多く入っている式では、計算の過程と結果が理解できず、時間を無駄にすることがある。
右辺の値またはベクトルを左辺と同じように記述する理由は、単に直感的によく合うためであり、実際には$\nabla$と$\mathbf{A}$の内積や外積ではない。各文書に入って導出過程を見れば理解できるだろう。だから、デル演算子というものを忘れて$\nabla f$、$\nabla \cdot \mathbf{A}$、$\nabla \times \mathbf{A}$を丸ごと1つの値またはベクトルとして理解すべきだ。
(X) $\nabla f$ = デル演算子とスカラー関数の積
(O) $\nabla f$ = 与えられたスカラー関数を3つの空間座標で微分したものを各成分として持つベクター関数であり、$f$がどの方向に、どれだけ増加するかに関する情報を持っている。
もしくは
ベクター関数$\mathbf{A} = (A_{x}, A_{y}, A_{z})$に対して、 $$ \frac{ d A_{x} }{ d x }+\frac{ d A_{y} }{ d y }+\frac{ dA_{z} }{ d z } $$ といった形の式は物理学でよく登場するので、いつも長々と書く必要はなく、簡単に $$ \nabla \cdot \mathbf{A} $$ と表現することにしようという約束だ。便宜上$\nabla = (\frac{ \partial }{ \partial x }, \frac{ \partial }{ \partial y }, \frac{ \partial }{ \partial z })$と定義すると直感的でぴったり合う表現法であるというわけだ。
と理解するのが正しい。
二つのベクトルの内積は交換可能なので、$\nabla$をベクトルと思い込むと、$\nabla\cdot \mathbf{A}$と$\mathbf{A}\cdot \nabla$を同じものと思い込むかもしれない。二つの式は全く異なる。そもそも$\nabla$は微分に関する演算なので、順序が非常に重要である。
$x\left(\dfrac{df}{dx}\right)$と$\dfrac{d(xf)}{dx}$の結果が同じではないと考えると理解しやすいだろう。だから、$\mathbf{A}\cdot \nabla$を二つのベクトルの内積と理解するのではなく、$A_{x}\frac{ \partial }{ \partial x }+A_{y}\frac{ \partial }{ \partial y }+A_{z}\frac{ \partial }{ \partial z }$が長すぎるために簡単に表現するために作られた記号と理解すべきだ。別の例でいうと
$$ \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) $$
が成り立つために
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=(\mathbf{A} \cdot \nabla)\nabla - (\nabla \cdot \nabla)\mathbf{A} + \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \mathbf{A} (\nabla \cdot \nabla) $$
も成り立つと誤解するかもしれないが、実際には
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla ^{2} \mathbf{A} $$
が正しい式である。前述の例と同様に$\dfrac{d}{dx} (fg)=\dfrac{df}{dx}g+f\dfrac{dg}{dx}$と$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{df}{dx} \right) =\dfrac{d^2 f}{dx^2}$の結果が全く異なることと同じ文脈である。