📂整数論

解析的整数論における約数関数

定義 ¹

$\alpha \in \mathbb{C}$ に対して以下の $\sigma_{\alpha} : \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ を約数関数と呼ぶ。 $$ \sigma_{\alpha} (n) := \sum_{d \mid n} d^{\alpha} $$

基礎性質

• [1] 乗法性: $\gcd (m,n) = 1$ を満たすすべての $m, n \in \mathbb{N}$ に対して、$\sigma_{\alpha} (mn) = \sigma_{\alpha} (m) \sigma_{\alpha} (n)$
• [2]: 素数 $p$ と 自然数 $a$ に対して、 $$ \sigma_{\alpha} \left( p^{a} \right) = \begin{cases} a +1 & , \alpha = 0 \\ {{ p^{\alpha (a+1)} - 1 } \over { p^{\alpha} - 1 }} &,\alpha \ne 0 \end{cases} $$

説明

特に

• $\alpha = 0$ の場合、約数の数を示す関数 $d := \sigma_{0}$ として表すこともある。
• $\alpha = 1$ の場合、初等整数論のシグマ関数 $\sigma := \sigma_{1}$ となる。

証明

[1]

ディリクレ積と乗法的性質: $f$ と $g$ が乗法的関数ならば、$f \ast\ g$ も乗法的関数である。

単位関数 $u$ とべき乗関数 $N^{\alpha}$ を次のように定義する。 $$ u(n) := 1 \\ N^{\alpha} (n) := n^{\alpha} $$ $u$ と $N^{\alpha}$ は乗法的関数であるので、その畳み込みも $$ \left( N^{\alpha} \ast\ u \right)(n) = \sum_{d \mid n} N^{\alpha} (d) u \left( {{ d } \over { n }} \right) = \sum_{d \mid n} d^{\alpha} = \sigma_{\alpha} (n) $$ 乗法的関数でなければならない。

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[2]

$p^{a}$ の約数は $1 , p , \cdots ,p^{a}$ であるから、 $$ \sigma_{\alpha} ( n) = 1 + p^{\alpha} + \cdots + p^{a\alpha} $$ $\alpha = 0$ の場合、 $$ \sigma_{\alpha} ( n) = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{a+1} = a + 1 $$ $\alpha \ne 0$ の場合、等比級数の公式 により、 $$ \sigma_{\alpha} ( n) = {{ p^{\alpha (a+1)} - 1 } \over { p^{\alpha} - 1 }} $$

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