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解析的整数論における約数関数 📂整数論

解析的整数論における約数関数

定義 1

αC\alpha \in \mathbb{C} に対して以下の σα:NC\sigma_{\alpha} : \mathbb{N} \to \mathbb{C}約数関数と呼ぶ。 σα(n):=dndα \sigma_{\alpha} (n) := \sum_{d \mid n} d^{\alpha}

基礎性質

  • [1] 乗法性: gcd(m,n)=1\gcd (m,n) = 1 を満たすすべての m,nNm, n \in \mathbb{N} に対して、σα(mn)=σα(m)σα(n)\sigma_{\alpha} (mn) = \sigma_{\alpha} (m) \sigma_{\alpha} (n)
  • [2]: 素数 pp自然数 aa に対して、 σα(pa)={a+1,α=0pα(a+1)1pα1,α0 \sigma_{\alpha} \left( p^{a} \right) = \begin{cases} a +1 & , \alpha = 0 \\ {{ p^{\alpha (a+1)} - 1 } \over { p^{\alpha} - 1 }} &,\alpha \ne 0 \end{cases}

説明

特に

  • α=0\alpha = 0 の場合、約数の数を示す関数 d:=σ0d := \sigma_{0} として表すこともある。
  • α=1\alpha = 1 の場合、初等整数論のシグマ関数 σ:=σ1\sigma := \sigma_{1} となる。

証明

[1]

ディリクレ積と乗法的性質: ffgg が乗法的関数ならば、f gf \ast\ g も乗法的関数である。

単位関数 uu とべき乗関数 NαN^{\alpha} を次のように定義する。 u(n):=1Nα(n):=nα u(n) := 1 \\ N^{\alpha} (n) := n^{\alpha} uuNαN^{\alpha}乗法的関数であるので、その畳み込み(Nα u)(n)=dnNα(d)u(dn)=dndα=σα(n) \left( N^{\alpha} \ast\ u \right)(n) = \sum_{d \mid n} N^{\alpha} (d) u \left( {{ d } \over { n }} \right) = \sum_{d \mid n} d^{\alpha} = \sigma_{\alpha} (n) 乗法的関数でなければならない。

[2]

pap^{a}約数1,p,,pa1 , p , \cdots ,p^{a} であるから、 σα(n)=1+pα++paα \sigma_{\alpha} ( n) = 1 + p^{\alpha} + \cdots + p^{a\alpha} α=0\alpha = 0 の場合、 σα(n)=1+1++1a+1=a+1 \sigma_{\alpha} ( n) = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{a+1} = a + 1 α0\alpha \ne 0 の場合、等比級数の公式 により、 σα(n)=pα(a+1)1pα1 \sigma_{\alpha} ( n) = {{ p^{\alpha (a+1)} - 1 } \over { p^{\alpha} - 1 }}


  1. Apostol. (1976). Introduction to Analytic Number Theory: p38. ↩︎