📂整数論

ディリクレ積と乗法的性質

定理 ¹

• [1]: $f$ と $g$ が乗法的関数ならば、$f \ast\ g$ も乗法的関数だ。
• [2]: $g$ と $f \ast g$ が乗法的関数ならば、$f$ も乗法的関数だ。

説明

これらの性質は、乗法的関数の代数的性質を論じる際にすぐに使用できる：

• 定理 [1] は、言い換えると、乗法的関数が畳み込み $\ast$に対して閉じていることを意味する。
• 定理 [2] は、$g$ と $I = g\ast g^{-1}$ を組み合わせることによって、乗法的関数の逆数が乗法的関数であることを示すことができる。

証明

[1]

$h := f \ast\ g$ そして $\gcd ( m , n ) = 1$ とする $$h(mn) = \sum_{c \mid mn} f(c) g \left( {{ mn } \over { c }} \right)$$ 今、$c$ を $a \mid m$ と $b \mid n$ を満たす $c = ab$ とすると、$\gcd ( m, n) = 1$ であるため、$\gcd (a,b) = 1$ そして、$\gcd (m/a, n/b)$ である。したがって $$\begin{align*} h(mn) =& \sum_{a \mid m \\ b \mid n} f (ab) g \left( {{ mn } \over { ab }} \right) \\ =& \sum_{a \mid m \\ b \mid n} f (a) f(b) g \left( {{ m } \over { a }} \right) g \left( {{ n } \over { b }} \right) \\ =& \sum_{a \mid m } f (a) g \left( {{ m } \over { a }} \right) \sum_{b \mid n} f(b) g \left( {{ n } \over { b }} \right) \\ =& h(m) h(n) \end{align*}$$

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[2]

$g$ と $h := f \ast\ g$ が乗法的関数とする。

$f$ が乗法的関数でないと仮定する。$f$ が乗法的でないならば、$f(mn) \ne f(m) f(n)$ と $\gcd (m,n) = 1$ を満たす $m, n$ が存在しなければならない。便宜上、満たす数の中で $mn$ が最小になるように $m,n$ を選ぶとする。

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ケース 1. $mn = 1$

$f(1) \ne f(1) f(1)$ であるため、$f(1) \ne 1$ である。しかし $$\begin{align*} 1 =& h(1) \\ =& f(1) g(1) \\ =& f(1) \cdot 1 \ne 1 \end{align*}$$ したがって、$h = f \ast g$ は乗法的でない。これは矛盾である。

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ケース 2. $mn > 1$

$m,n$ の仮定により、$ab < mn$ そして$\gcd ( a,b) = 1$ を満たす全ての $a,b$ は $f(ab) = f(a) f(b)$ を満たさなければならない。すると、$g$ が乗法的関数であるため、$g(1) = 1$ である。したがって $$\begin{align*} h(mn) =& \sum_{a \mid m \\ b \mid n \\ ab < mn} f (ab) g \left( {{ mn } \over { ab }} \right) + f(mn) g(1) \\ =& \sum_{a \mid m \\ b \mid n \\ ab < mn} f (a) f(b) g \left( {{ m } \over { a }} \right) g \left( {{ n } \over { b }} \right) + f(mn) \cdot 1 \\ =& \sum_{a \mid m } f (a) g \left( {{ m } \over { a }} \right) \sum_{b \mid n} f(b) g \left( {{ n } \over { b }} \right) - f(m)f(n) + f(mn) \\ =& h(m)h(n) - f(m)f(n) + f(mn) \end{align*}$$ 要約すると $$h(mn) - h(m)h(n) = f(mn) - f(m) f(n)$$ しかし $f$ の仮定によると、$f(mn) \ne f(m)f(n)$ であるため $$h(mn) - h(m) h(n) \ne 0$$ したがって、$h = f \ast g$ は乗法的でない。これは矛盾である。

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